RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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Un corollario di questo resultato è il seguente : se per r > 1 è b (r C) = , la 

 superficie ha il carattere K = ; il resultato più semplice si ha per r — 2. Possiamo 

 così enunciare il teorema: 



Se sopra una superficie di genere p > esiste un sistema puro semplice (C) (quindi 

 oo 3 almeno) tale che il sistema aggiunto a (2 C) seghi la serie canonica completa sulla 

 curva generica di (2 C) (ossia abbia la dimensione p -\- 2tt -f- n — 2 dove ir ed ti sono risp. 

 il genere e il grado di (C)) allora sulla curva generica di ogni sistema puro di genere 17, 

 appartenente alla superficie, il sistema aggiunto sega la serie canonica completa, ossia 

 esso ha la dimensione 



jr+.TT-l. 



In altre parole la condizione necessaria e sufficiente affinchè per una superficie sia 

 il carattere invariantivo 



K=0 



è che esista un sistema puro semplice (C) tale che 



ò(2 C)=0. 



Il teorema verrà poi esteso anche ai sistemi impuri; dobbiamo prima illuminarne 

 meglio il contenuto ponendolo in relazione colle proprietà che si riferiscono al genere 

 numerico della superficie, ed ai sistemi segati su di essa da superficie aggiunte. 



3. Sistemi segati sopra una superficie dalle superficie aggiunte. — Consideriamo 

 in S 3 la superficie F d'ordine n di genere p > senza curve eccezionali , dotata di 

 singolarità qualunque, le cui sezioni piane appartengono ad un sistema puro (C); 

 indichiamo col simbolo ip^ le sue superfìcie aggiunte d'ordine u. Come nel § 1 per 

 le y„_ 3 , si dimostra che le curve appartenenti al sistema (normale) somma di (C) e 

 del sistema aggiunto a (C) sono sezioni della F con una ip„_ 2 , e però che le iy n _ 2 

 segano sulla F un sistema normale; poiché (C) è puro le iy„_ 2 segano sulla F il 

 sistema puro completo aggiunto a (2 C) (cioè (2 C -f- C) se (C) è il sistema canonico). 

 Parimente si vedrebbe ancora che le \\> n _i segano sulla F il sistema completo 

 (3C -}- C) (poiché ancora il gruppo sezione sopra una sezione piana C appartiene ad 

 una curva aggiunta d'ordine n — 1). 



Supponiamo che le superficie ijj„_3 +r (r > 1) seghino la serie completa sopra 

 una sezione piana generica C della F; per il lemma di geometria sopra una curva 

 stabilito nel precedente §, segue che le \^ n -i+(r+i) segheranno pure sopra la C la 

 serie completa ; allora se il sistema segato dalle y n -z+r sulla F è il sistema (r C -f- C') 

 completo, quello segato dalle ip n _3 +(r 4-i) è necessariamente il sistema completo 

 {{r -j- 1) C -f- C f ) e si ha (come si è visto) 



ò(r C) =,b((r -f 1)C). 



Dunque se ò (2 C) = (poiché le ip„.. 2 segano sulla F tutto il sistema (2 C -{- C')), 

 le superficie aggiunte alla F \\> n -i+r {r > 1) segano pure sulla F tutto il sistema 



