204 FEDERIGO ENRIQUES 



(r C -j- C). In tal caso le ijj»_3+r segano sulla F un sistema di dimensione p -f-Tr (r+1) — 1 

 (essendo tt w il genere di (rCj); per ogni curva sezione passano (se r > 3) Q -\- 1 v];„_ 3+r 

 linearmente indipendenti fra cui Q spezzate nella F ed in una arbitraria superfìcie 

 d'ordine r — 3, quindi il numero A„-3+r della superficie if n -3-t-r linearmente indi- 

 pendenti è dato da 



A„_ 3 -h- =p + n^ 1 ) + (5) fdove (5) = se r < 3). 

 Se tt' 1 ' = ir è il genere di (C) si ha 



TT (r+l) _ K (r) _j_ _j_ ,. w _ 1? 



quindi 



A„_ 3 +r = A n _ 3+(j ._i) — |— TT — |— ì'tl 1 — |— C'7 1 ), 



uguaglianza la quale significa che le vp„_ 3 +. r segano sopra un piano il sistema lineare 

 completo delle curve d'ordine n — 3 -f- r aggiunte alla sezione piana la cui dimen- 

 sione è tt -\-rn — 2 -f- Ci 1 )- 



Ma se la F è dotata di singolarità ordinarie e se i numeri A n _ 3 -i_ r , A B _3^_( r _i) 

 sono quelli dati dalle formule di postulazione di Noether si deduce appunto (per 

 differenza) la precedente uguaglianza (come il signor Castelnuovo ha osservato (1)): 

 valendo la detta formula ricorrente (che è stata dimostrata partendo dall'ipotesi 

 K = ò (2 C) — 0), si conclude dunque che valgono le formule di postulazione di 

 Noether per le vp B _ 3+r se valgono per le ^„_ 3 e poiché esse danno p x -j- tt, ip,^ linear- 

 mente indipendenti se p x è il numero virtuale delle vjj„_ 4 (ossia il genere numerico), è 

 condizione necessaria e sufficiente affinchè valgano per r assai grande le dette formule 

 di postulazione che sia 



Pi =p; 



siccome effettivamente le formule di postulazione di Noether valgono per r assai 

 elevato, l'uguaglianza p = p x risulta stabilita. Viceversa %&p=p x valendo le formule 

 di postulazione per r assai grande, si ha ò (r C) = e quindi K = 0. 

 Si conclude il teorema: 



Le superficie di genere p > per le quali il carattere invariantivo K == allorché 

 sieno trasformate in modo da avere soltanto singolarità ordinarie (se è possibile) e non 

 curve eccezionali, hanno il genere numerico Pi = p, e viceversa (2). 



Poiché pi non è definito per le superficie con singolarità straordinarie assume- 

 remo per esse convenzionalmente p x =p quando è K = 0. 



Possiamo enunciare il teorema (dimostrato mediante le considerazioni precedenti): 



Sopra una superficie d'ordine n di S 3 senza curve eccezionali, dotata di singolarità 



(1) " Sulle superfìcie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche „ (" Circolo Mat. 

 di Palermo „, t. IV, 1890). 



(2) Indipendentemente dai ragionamenti fatti che suppongono p > 0, tenendo conto dell'osser- j 

 vazione che la differenza virtuale A/* — A^— 1 è la dimensione del sistema di tutte le curve d'or- 

 dine n aggiunte ad una sezione piana, partendo dall'ipotesi che le formule di postulazione valgano ; 

 per (i assai grande (come accade se la superficie ha singolarità ordinarie) si prova che è pi "S.p e 

 se Pi = p le formule di postulazione valgono per le Vn— i+r(r > 0). 



