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FEDERIGO ENRIQUES 



segue w = 0, e la dimensione del nominato sistema aggiunto a (Ci) è quindi proprio 



p -4- Ttj — 1 . 



Dunque: 



Sopra una superficie F di genere geometrico uguale al numerico p > ; anche ogni 

 sistema impuro di genere 17 ha il sistema aggiunto di dimensione p + TT — 1 come ogni 

 sistema puro. 



Se il sistema impuro (Cj) ha i suoi punti base distinti (come supponiamo) non 

 può nessuno di essi staccarsi dal sistema (K) aggiunto a (C x ), poiché (K) deve segare 

 la serie canonica completa sulla curva generica C v e questa non ha come punti fissi 

 gli i punti infinitamente vicini ad un punto iplo; quindi (cfr. anche il § 1): 



Sopra la superficie F il sistema aggiunto ad un sistema impuro con punti base 

 distinti è irreduttibile ed ha come (i — l)plo un punto base iplo del nominato sistema 

 impuro. 



Sopra la superficie F senza curve eccezionali di genere geometrico uguale al 

 numerico p > di cui le sezioni piane appartengono al sistema (puro) (C), si torni 

 a considerare il sistema impuro (C) di genere ttj con s punti base distinti di mol- 

 teplicità »!, i 2 . . . i s , e si prenda r così grande che il sistema (rC) di genere tt 1 ' 1 con- 

 tenga (C) in modo che (Ci) abbia come residuo rispetto ad esso un sistema puro (C 2 ) 

 di genere tt 2 ; sia ancora (C) il sistema canonico. Il sistema (rC-f- C — C 3 ) residuo 

 di (C 2 ) rispetto ad (r C -f- C ) ha la dimensione 



p + Wl + z - 1 



(come abbiamo visto essendo w = 0) ; questo sistema non può avere alcun punto base 

 fuori dei punti base di (Ci), poiché un tal punto sarebbe base per l'aggiunto di (Ci); 

 d'altra parte se un punto base iplo per (Ci) fosse base per (r C -f- C — C 2 ), impo- 

 nendo a questo sistema di avere il punto come (i — 1) pio si imporrebbe alla 



curva generica di esso meno di iSLzJà condizioni lineari e ne conseguirebbe che 



la dimensione del sistema aggiunto a (C^ sarebbe > p -f- ttj — 1 mentre ciò è im- 

 possibile; si conclude che staccando (C 2 ) da (rC -f- C) il sistema residuo (r C -f- C — C 2 ) 

 non può acquistare punti base, ossia è un sistema puro. Consideriamo il sistema 

 (r C — C 2 ) residuo di (C) rispetto al nominato sistema (r C -f- C — C 2 ) ; il sistema 

 aggiunto ad (r C — C 2 ) è la somma di (r C -\- C — C 2 ) coi punti base eventuali di 

 (r C — C 2 ), e però ha la dimensione 



^ p + 7T, + I - 1 



(numero esprimente la dimensione di (rC-\- C — C 2 )) ; ma il genere di (rC — C 2 ) è 



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