RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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e precisamente vale 



"i + ? 2 



se (rC — C 2 ) non ha punti base multipli e vale meno del detto numero in caso con- 

 trario; tenendo conto del fatto che la dimensione del sistema aggiunto ad un dato 

 sistema è uguale al genere di esso aumentato di p — 1, si conclude che (rC — C 2 ) 

 non ha punti base multipli e quindi è di genere 



*! + I g , 



ed il suo aggiunto è proprio il sistema (r C -f- C — C 2 ) di dimensione 



p + T^'+i - 1. 



Sono dunque possibili due casi: 



o il sistema (r C — C 2 ) è un sistema puro ed allora (Cj) si ottiene da esso 

 imponendo i punti base colle molteplicità i 1? i 2 . . . i, alle sue curve generiche; 



o (forse) il sistema (r C — C 2 ) ha alcuni punti base semplici (conseguenza dello 

 staccare (C 2 ) da (rC)) i quali cadono in punti base di (Cj), ma però coincide col 

 residuo del sistema canonico (C) rispetto al suo aggiunto (mentre in generale un 

 sistema impuro è contenuto nel residuo del canonico rispetto al suo aggiunto, quando 

 lo staccare il sistema canonico dal detto sistema aggiunto non tragga di conseguenza 

 lo staccarsi dei punti base del primitivo sistema) ; allora (C x ) si ottiene da (r C — C 2 ) 

 imponendo le molteplicità i lt i 2 . . . i nei punti base di (Cj) sieno essi base o no 

 per (rC — C 2 ). 



In ogni caso possiamo dunque concludere: 



Ogni sistema impuro (con punti base distinti) può dedursi coli' aggiunta dei suoi 

 punti base, non traenti con sè lo staccarsi di alcuna altra curva, da un sistema che 

 coincide col residuo del canonico rispetto all'aggiunto, il quale è furo o (forse) ha sol- 

 tanto dei punti base semplici. 



5. Cenno sulle superficie di genere 0. — Nei precedenti §' abbiamo escluso le 

 superficie di genere alle quali non si estende la dimostrazione del teorema fonda- 

 mentale del § 2. In virtù però delle considerazioni svolte in quel § (cfr. anche una 

 nota di esso) intorno alle formule di postulazione di Noether, ed approfittando del 

 citato teorema di Zeuthen e Noether sulla invariantività del genere numerico nelle 

 trasformazioni che non producono sulla superficie singolarità straordinarie, possiamo 

 concludere che: 



Sopra una superficie di genere geometrico uguale al numero 0, un sistema (C) sem- 

 plice di genere tt, tale che la superficie su cui gli iperpiani segano le curve di (C) ha 

 soltanto singolarità ordinarie, possiede un sistema aggiunto oo T_1 . 



Ora stabiliremo il seguente teorema: 



