210 



FEDERIGO ENRIQUES 



Al sistema (C -j- 2 K) appartiene il sistema a/ 1 costituito da una curva fìssa K' 

 di (K) presa insieme con tutte le curve di (C -j- K), cioè (simbolicamente) il sistema 



(C + K) +K': 



parimente se K" è un'altra curva di (K) a (G -f- 2 K) appartiene il sistema 



(C + K)4-K"; 



i due sistemi (oo r i ciascuno) hanno comune un sistema di dimensione r (cioè 

 (C) — }— K f —f- K") e però il loro sistema somma ha la dimensione 



> 2r x — r . 



Ora questo sistema è contenuto nel sistema delle curve di (C — (— 2 K) che pas- 

 sano per le D intersezioni delle curve K', K"; se dunque sono v 2 le condizioni im- 

 poste dal gruppo K' K" alle curve di (C -f 2 K) che debbono contenerlo, si ha: 



Vo >• 2rj — r -\- Vo. 



Indichiamo con Vj il numero delle condizioni che il gruppo K'„K" impone alle 

 curve di (C -j- K), e sia r la dimensione di (K) ; allora per v 1 — 1 tra i D punti del 

 gruppo K' K" passa una curva di (C -j- K) non contenente tutti i D punti del gruppo, 

 e per r — 2 punti del gruppo medesimo (appartenente alla serie caratteristica gx>~ 1 

 di (K)) si può condurre una curva K'" di (K) non contenente tutti i D punti, la 

 quale insieme con una curva di (C -j- K) pei detti v x — 1 punti compone una curva 

 di (C -\r 2 K) non contenente tutto il gruppo K' K" ; ne segue che 



v 2 > v x + r — 2 o v 2 > D — 1 



(l'ultima disuguaglianza valendo nel caso che sia v x -|- r — 3 > D — 1). Si deduce 



v 2 >2ri —r. + Vi + r — 2, 



o r 2 >2r! — r +D — 1. 



Ora sia (C) il sistema canonico (supposto irreduttibile, con r =p — 1 > 2), e 

 (K) sia un sistema puro semplice co r di genere ir e grado D, la cui serie caratteri- 

 stica sia (per ipotesi) completa; inoltre il sistema (C-j-K) aggiunto a (K) abbia la 

 dimensione p-\-n — 1. 



Il gruppo della serie caratteristica completa g D r ~ l di (C), impone (pel teorema 

 di Riemann Roch) 



v x = D — r + 1 



