RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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condizioni alle curve del sistema aggiunto (C -f- K) che debbono contenerla; in questo 

 caso è dunque: 



V 2 >D — 1, 0-!=^ + IT — 1), 



e perciò 



r 2 > 2 (p + tt - 1) - (p - 1) + D - 1 



r 2 >_p + 2Tr4-D — 2; 



e poiché 2 - -f- D — 1 è il genere tt, di (C + K) si ha proprio 



r 2 = P 4" ^2 — 1 



(non potendo essere r 2 > p -j- tt 2 — 1). 



Dunque (poiché è ora ò (K) = ò (2 K) = 0) si ha il teorema: 



Se sopra una superficie di genere p > 2 (a sistema canonico irreduttibile) si ha un 

 sistema puro semplice di genere tt avente la serie caratteristica completa, e di cui l'ag- 

 giunto è cop+tt— 1 , per ogni altro sistema di genere TT appartenente alla stessa superficie 

 la dimensione del sistema aggiunto è 



P + T1-1, 



cioè la superficie ha il genere geometrico uguale al numerico. 



IV. 



Sistemi puri. — Estensione del teorema di Riemann-Roch. 



1. La serie caratteristica. — In seguito al teorema del capitolo precedente § 4°, 

 il nostro maggior interesse si rivolge allo studio dei sistemi puri, poiché dalle pro- 

 prietà di questi potranno dedursi quelle di tutti i sistemi impuri ottenuti coll'aggiunta 

 di punti base, non avendo in complesso a superare difficoltà maggiori di quelle che 

 s'incontrano nello studio dei sistemi lineari di curve piane e di una indole non molto 

 diversa. In questo capitolo parlando di un sistema (C) (ove non si avverta espressamente 

 il contrario) intendiamo senz'altro che sia un sistema puro irreduttibile di dimensione 

 > 2 (completo); supponiamo inoltre che la superfìcie di cui si tratta abbia il genere 

 geometrico uguale al numerico p>0, e intendiamo che il sistema (K) aggiunto a (C) 

 sia semplice, e per ciò basta che sia semplice (C) o il sistema canonico. 



Dato il sistema (C) se ne designerà con tt il genere, con n il grado, con r la 

 dimensione, e diremo senz'altro che (C) ha i caratteri tt, n, r. Sia (K) il sistema ag- 



