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FEDERIGO ENRIQUES 



giunto di (C) (necessariamente puro) e 17, N, R i suoi caratteri. Vi sono curve K di 

 (K) spezzate in una C di (C) ed in una C del sistema canonico (C); una curva ge- 

 nerica C o una generica C (poiché (C), (C) son sistemi puri) non hanno punti mul- 

 tipli in punti semplici della superficie (o ipermolteplicità nei punti multipli) dimodoché 

 per la formula di Noether (1) 



n = pW + 3(tt — 1) — n: 



due curve spezzate ciascuna in una C ed una C si segano come due K in N punti 

 quindi : 



N = — 1 + 4 (ir — 1) — »; 



si ha poi (Cap. Ili, § 2): 



R = p 4- ir — 1. 



Si riferiscano ora le curve K del sistema (K) aggiunto a (C) agli iperpiani di 

 S p+ t_i e si consideri la superficie F così trasformata. 



Una curva C sta sulla F in un S^_i poiché vi sono oo?- 1 K spezzate in una C 

 ed in una curva canonica, ossia oo p ~ 1 iperpiani per la C. Invece una curva canonica 

 C sta in un S J9+ a-_2-r, poiché vi sono oo r K spezzate in una C fissa ed in una C. 

 Le curve K ossia gli iperpiani di S p +ir_i segano sulla C la serie canonica completa 

 (laC 6 CUFVci CctnOlllCcl in Ott — i ). Consideriamo gli iperpiani che passano per lo S p+ T-2-r 

 contenente una C e la serie che essi segano sopra una curva C; essa viene segata 

 nello Sar-i della C dagli S*_ 2 contenenti l'intersezione dello Sp + jr_2_ r di C e dello 

 S^r-i di C ; essa è dunque completa se i 2 (rr — 1) — n punti comuni alle C, C, in- 

 dividuano l'intersezione dei 2 spazi a cui le C, C, risp. appartengono; se questo non 

 accade, ed i detti 2 (ir — 1) — n punti non individuano quella intersezione, ma uno 

 spazio di dimensione minore, la detta serie è invece necessariamente scompleta. Ma 

 allora per la stessa ragione è scompleta (e con un difetto di completezza non mi- 

 nore) la serie che gli iperpiani (S^+t-o ) passanti per la detta intersezione degli spazi 

 di C, C, segano sulla C\ Ora la l a serie non è altro che la serie caratteristica del 

 sistema (C), la 2 a è quella del sistema canonico (C'j (suppostane l'esistenza). Dunque: 



Se la serie caratteristica del sistema canonico è completa, è completa la serie carat- 

 teristica di ogni altro sistema puro (2). 



Nel seguito considereremo per ora soltanto le superficie aventi la serie caratte- 

 ristica del sistema canonico completa (se p > 2). Così su tali superficie ogni sistema puro 

 ha la serie caratteristica completa; ciò accade anche se p — 1 (cfr. cap. Ili), e se le 

 curve canoniche si compongono di quelle d'un fascio (p >• 2) bastando ripetere in 

 questo caso il precedente ragionamento; anche questi casi nei quali non esiste serie 

 caratteristica del sistema canonico sono tra quelli che consideriamo. 



(1) " Acta Mathematica „, 1886. 



(2) Il teorema si estenderebbe colla medesima dimostrazione anche ai sistemi impuri che coin- 

 cidono col residuo del canonico rispetto all'aggiunto, notando che una curva eccezionale non ha 

 intersezioni con una curva canonica. 



