RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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2. Estensione del teorema di Biemann Rock. — Ci proponiamo il seguente problema: 

 Quante curve del sistema aggiunto a (C) passano per un gruppo della sua serie 

 caratteristica, cioè per un gruppo comune a due curve C ? 



Supponiamo dapprima il sistema (.C) non speciale (cioè non contenuto nel cano- 

 nico), e consideriamo il sistema (Kì aggiunto a (C). Sieno nari caratteri di (C); 

 e riferiamo le curve K agli iperpiani di S p+T _i in guisa da ottenere una superficie 

 trasformata F, sulla quale (come prima abbiam visto) una C sta in un S?r_i. 



Due arbitrari S^r-i contenenti ciascuno una curva C non possono esser conte- 

 nuti in uno spazio a meno di p -\- tt — ■ 1 dimensioni, altrimenti il sistema doppio di 

 (C) (contenente tutte le coppie di curve G) sarebbe contenuto nell'aggiunto (K) di 

 (C) e quindi (togliendo una C da ambedue i sistemi) (C) sarebbe contenuto nel ca- 

 nonico (cioè sarebbe speciale) ; quindi due tali St_i si segano secondo uno spazio 

 Sw-i- p per il quale passano oo 2p_1 iperpiani. Ognuno degli oo 2:P-1 iperpiani passanti 

 per S^-i-p passa per gli n punti comuni alle due curve C, quindi per gli n punti 

 passano almeno co 2p_1 curve K, ed in generale oo 2p ~ 1+a con uu > 0. 



La quantità w ha un altro significato notevole; invero poiché gli iperpiani se- 

 gano sulla C una serie completa, quelli passanti per una C segheranno sopra un'altra 

 C una serie il cui difetto di completezza è uj (cfr. § prec.) poiché gli n punti co- 

 muni a due C stanno in un S*r_i_p— « immerso nello St_i_ p comune ai due St_i che 

 contengono le dette C. 



Ora questa serie è quella che le curve canoniche segano sulla curva C, la quale 

 (poiché (C) è non speciale) è una g\^_ V) _ n immersa dunque in una serie completa 

 9^-i)— n ' vede intanto che per il gruppo di punti comune a due curve C d'un 

 sistema non speciale passano co 2 p -1+£ " curve del sistema aggiunto, essendo ui il di- 

 fetto di completezza della serie che le curve canoniche segano sulla C. 



Sia ora (C) un sistema speciale, e sia r' la dimensione del residuo (s'intende residuo 

 di esso rispetto al canonico), designeremo la quantità * = r' -j- 1 col nome di indice 

 di specialità del sistema. (Quando i — il sistema è non speciale). Allora il doppio 

 di (C) è contenuto nell'aggiunto (K) ed il residuo di questo doppio rispetto a (K) è 

 il residuo di (C) (rispetto al canonico) e quindi è di dimensione r'; due S?r_i conte- 

 nenti ciascuno una C sulla F in S p +7r_i , sono ora immersi in un S p+5 7-_i_ 8 - e quindi 

 han comune un St_i- p +,- per il quale passano co 2 ? -1-8 iperpiani. Quindi si conclude 

 come nel caso precedente che pel gruppo comune a due curve C passano oo 2 ? -8 '- 1 -*-" 

 curve del sistema aggiunto, dove uu > è ancora il difetto di completezza della serie 

 segata sopra una C dalle curve canoniche, la quale serie è dunque una g\~^zì)^ n ) 

 (poiché essendo r' la dimensione del sistema residuo di (C) per un gruppo della serie 

 passano 00* =oo r ' +1 curve canoniche giacché una C fa parte di oo -1 curve canoniche) 

 immersa in una serie completa Così possiamo concludere: 



Per un gruppo comune a 2 curve C d'un sistema non speciale, sopra una super- 

 ficie di genere p, passano 2 p -f- in curve linearmente indipendenti del sistema aggiunto; 

 e se il sistema è speciale coli' indice di specialità i ne passano 2 p — i -f- ui ; la quan- 

 tità uu > è in ambi i casi il difetto di completezza della serie segata dalle curve ca- 

 noniche sopra una curva C (1). 



(1) Il teorema può anche enunciarsi dicendo che in S 3 vi sono per una retta 2p -f - ui — i super- 



