RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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3. Sistemi speciali residui uno dell'altro. — La relazione precedentemente trovata 

 permette di esprimere in funzione dei caratteri di un sistema speciale la dimensione 

 del residuo, nell'ipotesi che il dato sistema sia puro; la restrizione stessa è in ge- 

 nerale soddisfatta quando si considerano due sistemi residui uno dell'altro di dimen- 

 sione > 2 in relazione reciproca (C), (C). 



Sieno (C), (C) due sistemi puri residui uno dell'altro (di dimensione > 2), espri- 

 miamo tutti i caratteri tt', r', n' , ai' dell'uno (C) in funzione di quelli tt, r, n, uu del- 

 l'altro (C), o viceversa. 



Sia al solito p [1) il 2° genere della superficie, e sia D il numero dei punti comuni 

 ad una curva C ad una C. Poiché il sistema canonico è la somma di (C), (C) usando 

 di note formule già adoperate, si ha: 



pW = TT + tt' -f D — 1 



(pW =) pW — 1 = n + ri 4- 2D, 



e, poiché una curva canonica incontra una C in 2(tt — 1) — n punti, 



2n + D = 2(tt — 1). 



Mediante l'ultima relazione eliminando D si deduce 



D = 2(tt — 1) — 2n 



pW = 3(tt — 1) + tt' — 2n 



pW — 1 = n ' 4- 4(tt — 1) — Bn; 



siccome poi sottraendo segue 



n — tt = n' — tt' 



e si ha 



r 4" r ' — P — n + n ~\~ w — P — ti' -\- n' w' , 

 cosi si deduce: 



uu - ai'. 



Dunque: Fra i caratteri tt, r ; n ; ai, tt', r', n', ai', dei due sistemi speciali (puri), (C), 

 (C) residui uno dell'altro, di dimensione > 1, sussistono le relazioni 



p — tt4" w — r-j-a> 

 p (D _ 3(tt _ l) _j_ 2n 



p(l) _ i _ 4(tt — 1) 4- 3w 



ai (n — rt = n' — tt'). 



