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FEDERIGO ENRIQUES 



4. La sovrabbondanza. Dimensione virtuale d'un sistema. — Il concetto della so- 

 vrabbondanza d'un sistema (C) cui siamo giunti partendo dalla considerazione delle 

 curve del sistema aggiunto a (C) che passano pel gruppo comune a due curve C, è 

 suscettibile di ricevere un'altra interpretazione, cui già ho accennato, la quale rende 

 meglio ragione della denominazione scelta. 



Si consideri un sistema (K) di caratteri TT, R, N, Q, I (dove l'indice di specia- 

 lità I = se (K) è non speciale) ed un sistema (C) contenuto in esso e residuo di una 

 curva C ; sieno tt, r, n, w ; i i caratteri di (C), e la curva C sia di genere ir' incon- 

 trata in D punti da una curva C. 



Supponiamo che la C non abbia punti multipli in punti semplici della super- 

 ficie (o ipermolteplicità nei punti multipli) di guisa che, essendo (C) un sistema puro, 

 una curva C -j- C non abbia altri punti multipli che non siano tali per le K eccetto 

 i punti doppi intersezioni di una C e di una C, allora si ha: 



TT = TT + Tt'+D-1. 



Una curva K incontra una curva K spezzata in una C e nella C in N punti ; 

 d'altra parte una curva K spezzata in una C ed una C incontra una C in n -j- D 

 punti, quindi una K incontra la C in D' punti dove: 



Ora il sistema (K) sega su C una serie g^r r ~ l ; se indichiamo con e il difetto 

 di completezza della serie e con h il suo indice di specialità si ha dunque: 



R — r — 1 + e ±= D' — tt' -f h 



ossia : 



R = D' — tt' + h — e + r + 1. 



Ne segue: 



TT— l-N-j-R = (Tr + Tr'+D— 1) — 1 — (w+ D + D')+ (D'-tt'+/ì — e + r-f 1) 



ossia: 



TT — 1 - N + R = tt — 1 — n + r + (h — e): 

 d'altra parte è: 



n— 1 — N + R= p + Q — I 

 tt — 1 — n -(- r =. -fr tu — i 



quindi 



Q — I = w — i -f (h — e) 



ed 



uu — i = Q — I + (e — h). 



