RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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Dunque : 



Se da un sistema (K) se ne deduce un altro puro (C) come residuo di una curva 

 C che non abbia punti multipli in punti semplici della superficie (ne iper molteplicità nei 

 suoi punti multipli), la differenza fra la sovrabbondanza e Vindice di specialità di (C) 

 è uguale all'analoga differenza per (K) aumentata dalla differenza fra il difetto di com- 

 pletezza e l'indice di specialità della serie che le curve K segano sulla C. 



Di questo teorema è utile il corollario: 



La differenza fra la sovrabbondanza, e l'indice di specialità d'un sistema (C) re- 

 siduo della curva C rispetto ad un sistema regolare non speciale (K) è uguale alla dif- 

 ferenza fra il difetto di completezza e l'indice di specialità della serie segata dalle curve 

 K {di (K)) sulla C. 



Per il nostro scopo occorre ancora dimostrare il lemma: 



Il sistema aggiunto ad un sistema puro (C) è regolare. 



Questo si verifica immediatamente. Infatti se tt, r, n, sono i caratteri del sistema 

 (C), e TT, R, N, Q quelli del suo aggiunto, si ha: 



TT = ir + pW + 2(tt — 1) — n — 1 

 R = p -f- tt — 1 



N = n + — 1 + 2j 2(tt — 1) — n{ 



e quindi : 



TT — 1 — N + R = p, 



ed 



Q = 0. cdd. 



Deduciamo che sopra una superficie F di S 3 d'ordine n, senza curve eccezionali, 

 le superficie aggiunte d'ordine > n — 3 segano un sistema regolare; infatti abbiamo 

 già avuto occasione di osservare che le aggiunte d'ordine n — 3-4- r segano sulla F 

 il sistema aggiunto a quello rplo delle sezioni piane. 



Ora si consideri sulla F un sistema (C) segato da superficie aggiunte d'ordine 



> n — 4. Sappiamo che il sistema segato da tutte le superficie aggiunte d'ordine 



> n — 4 ha la dimensione che si può calcolare in base alle formule di postulazione 

 di Noether, le quali in base alla convenzione p t — p (cap. ILI, § 3) ed al corollario 

 di Castelnuovo secondo il quale si ha l'espressione della differenza fra il numero 

 delle superficie aggiunte di un dato ordine e quello delle superficie aggiunte dell'ordine 

 consecutivo, debbono riguardarsi come valevoli anche per le superfìcie dotate di singo- 

 larità straordinarie. Se vogliamo calcolare secondo queste formule di postulazione la 

 dimensione che dovrebbe competere al sistema (C), dobbiamo far passare per una curva C 

 (di (C)) un'aggiunta d'ordine n — 3 -f- l (l > 0), vjj w _ 3+ ì, la quale seghi ulteriormente 

 la F in una curva C (che possiamo supporre non avente punti multipli in punti sem- 

 plici della superfìcie) e vedere quante condizioni la C, unita al gruppo base, imponga 

 ad una y„_3+j che debba contenerla. Possiamo dire che il numero così calcolato (che, 

 per così dire dovrebbe esprimere la dimensione del sistema (C)) è la dimensione vir- 

 tuale del sistema (C); ma può sorgere il dubbio che questo numero vari con l, o 

 muti rifacendo la costruzione per una superficie trasformata. 



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