RICERCHE DI GEOMETRIA. SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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Sia (C) un sistema puro di dimensione 



_ P W — 1 



- 2 



Se (C) è speciale deve essere 



r — p — 1 



e però (C) è il sistema canonico per il quale w = 0. 



Se (C) è non speciale (i = 0), ma contiene il sistema canonico, la serie segata 

 dall'aggiunto (K) sulla curva canonica C è non speciale o è (forse) la serie cano- 

 nica; nel 1° caso w > 0; il 2° caso è impossibile giacche (C) conterrebbe totalmente 

 il sistema canonico (poiché la C e la C hanno p w — 1 punti comuni) e quindi avrebbe 

 lo stesso grado di esso (cap. I) mentre esso è normale (anzi completo). Infine se (C) 

 non contiene il sistema canonico pur essendo non speciale, la serie segata da (C) 

 sulla C è una serie g di dimensione r e però (secondo un noto teorema di Clifford) 

 di grado > 2 r, cioè di grado > p w — 1 ; ma la serie g potrebbe avere soltanto il 

 grado 2 r se fosse r = p a) — 1, quindi la detta serie ha il grado > p ll) — 1; ne 

 segue che l'aggiunto (K) di (C) sega sulla C una serie di grado > 2 p w — 2 e quindi 

 non speciale, ed in conseguenza è 



io > 0. 



Suppongasi invece che il sistema canonico sia semplice; allora è (sempre secondo 

 Noether) : 



2p — 2 < pW — 1 



(anzi, secondo Castelnuovo (1) p {l) > 3p — 6); perciò se la dimensione r di (C) sod- 

 disfa alla disuguaglianza 



^d) _ i 



f >• ■* 



2 



si ha r > p — 1 ossia (C) è non speciale, e col ragionamento precedente segue 



uj > 0. 



Dunque: 



Pur prescindendo dalla completezza della serie caratteristica del sistema canonico, 

 per ogni sistema lineare appartenente ad una superficie di 2° genere p (1) , avente una 

 dimensione 



p^) — 1 



2 



la sovrabbondanza 



w > 0, 



(e se il sistema non è il sistema canonico esso è non speciale, sicché tt — 1 — n -j- r > p). 



(1) " Istituto lombardo „ 1891 (Nota II). 



