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FEDERIGO ENRIQUES 



V. 



Le curve fondamentali. 



1. Preliminari. — Mi propongo ora di esaminare le proprietà dei sistemi lineari 

 in relazione alle loro curve fondamentali; siccome capiterà qui sempre di conside- 

 rare la differenza tra la sovrabbondanza e l' indice di specialità (cioè quella r — p 

 tra la dimensione effettiva e la virtuale) indicherò qui con questa quantità (che 

 prima avevo designata con uj — i), e cosi sarà ora la sovrabbondanza (= tu) quando 

 si tratta d'un sistema non speciale; indicherò ancora con tt, r, n, gli altri caratteri 

 d'un sistema (C) e supporrò che (C) sia un sistema semplice (r > 3) dedotto coll'ag- 

 giunta di punti base distinti da un sistema puro. Supporrò inoltre la superficie 

 avente il genere geometrico uguale al numerico p > 0. 



Come già abbiamo detto, una curva fondamentale di (C) è una curva K che pre- 

 senta una sola condizione ad una C che debba contenerla; escluderò che essa possa 

 essere rappresentata da un gruppo di punti semplici sopra una superficie trasformata ; 

 per la definizione il sistema residuo della K rispetto a (C) è oo r_1 ; noi supporremo 

 che esso soddisfi alla restrizione di avere punti base distinti e di esser dedotto me- 

 diante l'aggiunta di essi da un sistema puro. Le curve C si facciano segare sulla 

 superficie F dagli iperpiani di S r : alla K corrisponde un punto multiplo 0, quindi 

 una curva fondamentale non ha intersezioni variabili col dato sistema ma ha qualche 

 intersezione variabile col residuo. Gli iperpiani per non hanno altri punti fìssi sulla F, 

 quindi includendo in K il gruppo di tutte le curve (e punti) che corrispondono ad 0, 

 lo staccarsi della K da (C) non trae di conseguenza lo staccarsi di altre curve; è 

 quanto dire che lo staccarsi da (C) d'una curva fondamentale può trarre solo di con- 

 seguenza lo staccarsi di altre curve fondamentali le quali tutte compongono insieme una 

 curva fondamentale K. 



Quando si fan segare sulla F le curve C di (C) dagli iperpiani di S r , nella tras- 

 formazione che così viene ad eseguirsi ad ogni punto della primitiva superficie che 

 sia base iplo per (C) viene a corrispondere una curva eccezionale d'ordine i sulla F. 

 Ora una curva eccezionale d'ordine i che abbia il punto come p pio viene proiet- 

 tata da in una curva d'ordine i — p eccezionale per la superfìcie proiezione della F, 

 e si deve notare che la curva d'ordine i (che corrisponde ad un punto) non può es- 

 sere spezzata e però è i > p tranne per i = p = 1 ; cosi si deduce : Il sistema re- 

 siduo della curva fondamentale K rispetto al sistema (C) ha come punto base iplo ogni 

 punto iplo di (C) fuori della K; la curva K può avere una molteplicità p < i in un 

 punto base iplo per (C) con i > 1, e solo un punto semplice (p =i = 1) in un punto 

 base semplice di (C), ed allora il residuo della K ha un punto base (i — p) pio (e non 

 di molteplicità più elevata) nel detto punto base iplo di (C). 



