RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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Questa deduzione (importa notarlo) è fondata sull'ipotesi fatta che il sistema (C) 

 residuo di K rispetto a (C) abbia solo punti base distinti, e quindi i tangenti varia- 

 bili in un punto iplo. 



2. Una relazione fra i caratteri d'un sistema, il genere d'una sua curva fondamen- 

 tale ed i caratteri del residuo. — Se una curva K è comunque composta con parti 

 irreduttibili distinte Ci ... C, di generi ttj, tt 2 . . . tt s , e se C r , C P hanno i rp punti 

 comuni, il genere della curva composta è (secondo Noether) 



TT = 7^ -f- TT 2 + ... + K * 4" — S -f- 1 



dove la Z va estesa a tutte le combinazioni di valori diversi r e p (come già ab- 

 biamo avuto occasione di ricordare). 



La curva K = G 1 -j- C 2 -f- . . . -f- C s sia una curva fondamentale per il sistema 

 (C) (nella quale per convenzione sono incluse tutte le componenti, anche punti, che 

 si staccano da (C) quando si stacca una componente); i generi tt^ tt 2 . . . tt, sieno 

 calcolati prescindendo dalle molteplicità delle curve C 1? C 2 . . . C, fuori dei punti 

 base di (C), inoltre il genere di un punto h pio (componente K) sia o come quello della 

 curva razionale d'ordine i che gli corrisponde sulla superficie su cui gl'iperpiani se- 

 gano le curve C residue di J£ rispetto a (C\ Diremo TT il genere della curva fonda- 

 mentale K di (C), che non ha (per ipotesi) componenti multiple, calcolato in base alle 

 convenzioni precedenti. 



Sieno tt, r, n, 6 i caratteri di (C), tt', r\ n', 6' quelli del residuo (C) di K. Una 

 curva composta C -f- K ha (per il teorema del § precedente) le stesse molteplicità 

 d'una curva generica C nei punti base di (C); allora se indichiamo con i il numero 

 delle intersezioni variabili della K con una C cioè (come diremo) il grado della K, 

 si avrà: 



tt = ri + TT + i — 1 ; 



d'altra parte se si fan segare le curve C da iperpiani, il punto che viene a cor- 

 rispondere a K sulla superficie trasformata è iplo per quella superficie, quindi 



n — n' -f- i 



(infatti nel numero i sono comprese le intersezioni che una C ha con ogni compo- 

 nente di K ed iii particolare anche coi punti che risultano hpli per (C)). 

 Si deduce: 



tt _ i _ n 4. r — re' — 1 — ri + r' -f TT; 



ma 



tt — 1 — n -f- r — p -f- 8 

 tt' — 1 — ri + / = p -f e', 



quindi 



e = e' + n. 



