RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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Ora si consideri un sistema speciale co p_2 ; sulla superficie canonica (ottenuta 

 facendo segare dagli iperpiani di S p _i le curve del sistema canonico supposto sem- 

 plice) esso è segato dagli iperpiani per un punto, e però ha come residua una curva, 

 ossia il suo indice di specialità è 1 come quello del sistema canonico (x;" -1 ). 



Si deduce: 



Il sistema canonico, se è semplice, non ha curve fondamentali di genere > 0. 

 In modo analogo si dimostrano i corollari: 



Un sistema regolare co" non può avere altre curve fondamentali di genere > 0, 

 tranne tutt'al più una sola curva fondamentale di genere 1 {che ha per residuo il sistema 

 canonico). 



Un sistema regolare oo B-1 non può avere altre curve fondamentali di genere > 

 tranne curve fondamentali di genere 1 (ed allora è non speciale). 



4. Sistemi multipli d'un sistema. — Se si hanno sopra una superficie F due si- 

 stemi (C), (C), che possono supporsi segati da due sistemi lineari di superficie, il 

 sistema somma dei due sistemi di superficie sega sulla F un sistema lineare di curve 

 contenente tutte le curve composte C-j-C; questo sistema appartiene ad un deter- 

 minato sistema normale che si è detto il sistema somma di (C), (C) e si è indicato 

 con (C -\- C) ; si è detto poi mplo di (C) ed indicato con (m C) il sistema somma di 

 m sistemi (C), cioè il sistema normale contenente tutti i gruppi di m curve C. 



Enuncio alcuni lemmi di facile dimostrazione: 



Se una curva irreduttibile è fondamentale per il sistema (C) essa è fondamentale 

 per (fltC). • 



Se una curva irreduttibile è fondamentale per (mC) essa è fondamentale per (C). 



Se una curva irreduttibile è fondamentale per (C) ma non per (C) essa non è fon- 

 damentale per (C -j- C). 



Le dimostrazioni di questi lemmi si fondano sulla considerazione che una curva 

 irreduttibile non avente intersezioni variabili con quelle d'un sistema è fondamentale 

 per esso e viceversa. 



Come abbiamo avuto occasione di osservare nel cap. Ili se (C) è puro, il sistema 

 (m C) per m assai grande contiene un altro arbitrario sistema, in particolare il cano- 

 nico, in modo che il residuo di questo rispetto ad (m C) (disposto convenientemente 

 di m) è un sistema puro (K) di dimensione elevata quanto occorre. 



Se si suppone che (C) abbia solo curve fondamentali irreduttibili di genere 

 (distinte), lo stesso avverrà per uno dei precedenti lemmi pel sistema (C -f- K). Si fac- 

 ciano segare co 3 curve generiche di (C -j- K) dai piani di S 3 sulla superficie F e si 

 supponga per semplicità che essa sia dotata soltanto di curva doppia e punti multipli 

 ordinari ; ad una curva fondamentale (di genere 0) del sistema corrisponde un punto 

 multiplo secondo d a cono osculatore irreduttibile di genere 0; un tale cono ha 



— — l ]j d ~ 2 ^ generatrici doppie (o generatrici multiple equivalenti), le quali rappre- 

 sentano altrettanti rami della curva doppia della F passanti per esso, giacche una 

 generatrice doppia del cono non tangente alla curva doppia rappresenterebbe un punto 

 doppio della curva fondamentale del sistema (C -j- K) che non andrebbe computato 

 nel genere della curva (§ 2). Allora si considerino le curve del sistema ((m-f- 1) C), 



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