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FEDERIGO ENRIQUES 



e si supponga che (0) e quindi ((m — |— 1 ) C) sia puro. Esse segano su quelle di (C -]-K) 

 (sezioni piane della F) un gruppo canonico, e quindi sono segate da una superficie 

 qj D _ 3 aggiunta alla F (supposta d'ordine D) salvo forse nei punti multipli (cfr. capi- 

 tolo II, III), e poiché i punti dpli della F sono ^ ~ 1 ^ — — pli per la curva doppia 



la vp D _ 3 ha la molteplicità d — 2 (almeno) in un punto dplo e quindi è aggiunta 

 alla F. Ne segue che il sistema ((w*-j- 1) C) è aggiunto a (C -{- K) e però è regolare 

 capitolo IV, § 4). 

 Dunque : 



Per m assai grande il multiplo (m C) del sistema puro irreduttibile (C) non dotato 

 che di curve fondamentali irreduttibili di genere 0, è regolare. 



5. Sulla postulazione d'ima superfìcie di S r rispetto alla varietà d'ordine m. — Si 

 abbia in S r una superficie F non dotata di curve eccezionali, ed avente soltanto punti 

 multipli a cono osculatore di genere 0. Quante varietà V m (linearmente indipendenti) 

 d'ordine m contengono la F in S r ? 



Se le sezioni iperpianali della F segano sulla F co' curve appartenenti ad un 

 sistema (C), le V m segano sulla F curve appartenenti al sistema {in C). 



Indichiamo con TT m , n m , r m i caratteri del sistema normale (mC); (tt x = tt, n x = n); 

 abbiamo allora le relazioni: 



TT m — TT m _i — j— TT -|— {m — 1) n — 1 



n m - n m -i -(- 2(m — 1) n -(- n 



e quindi 



, m (m — 1) , .. 



nm -j r n — m -f- 1 



al crescere di m la dimensione di (m C) cresce oltre ogni limite (e quindi oltre ^ ' ~ ^ ) , 

 di guisa che come nel § precedente si deduce che in ogni caso la sua sovrabbon- 

 danza (uu m > 0) è = 0; perciò quando m è assai grande, 



r m = p H g w — m ( n — 1 )- 



Se indichiamo con 



N m = ( m + r ) — 1 



la infinità delle V m , per ogni curva sezione della V m colla F passano oo Nm_rm , V m e 

 perciò la postulazione della superficie rispetto alle V„, è 



^ ii \ m {m -4-1) , -, \ i ., 



< r m -j- 1 = p -1 ^ n — m (ir — 1) + 1; 



dove vale il segno = se (come avviene, si può dire , nel caso generale) il sistema 



