RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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segato dalle V m su F, per m assai grande, è completo (e per ciò, poiché esso è puro, 

 basta che sia normale). 



Dunque, per la superficie F di S r passano [per m assai grande) 



t ^ tvt m (m + 1) , / , . 



L < N m — p 2 n -f- m fa — 1) 



varietà V m linearmente indipendenti. 



Facciamo ora una breve digressione determinando il numero delle quadriche di 

 S r passanti per una superficie F a sezioni normali (sulla quale non si fa nessuna 

 altra ipotesi). 



Se per la F di S r passa una quadrica la sezione iperpianale Cjr di F e gli n 

 punti sezione d'un S r _ 2 stanno pure sopra una quadrica (risp. in S r _i e in S r _ 2 ). Sup- 

 pongasi ora che gli n punti sezione della F con un S r _> sieno sopra una quadrica q; 

 in un S r _x per lo S r _ 2 le quadriche Q per q sono co r e segano sulla la serie (com- 

 pleta) segata dagli iperpiani (g n r ~ [ ), quindi vi è una ed una sola quadrica Q per la q 

 contenente la curva G K ; in modo analogo può costruirsi un'altra quadrica Q' conte- 

 nente la sezione CV della F con un altro S r _j per lo S r _ 2 , e contenente pure la q* 

 ora le due quadriche Q, Q' risp. appartenenti ai 2 S r _ t ed aventi comune la sezione q 

 con un S r _ 2 , appartengono ad un fascio di quadriche T in S r ; la quadrica T del fascio 

 contenente un punto fissato ad arbitrio sulla F, contiene quindi la F, poiché ne con- 

 tiene già due sezioni iperpianali. Ora giacché ogni quadrica per la F sega un S r _ x in 

 una quadrica contenente la sua curva sezione, e vi è una quadrica determinata che 

 contiene la F passante per una quadrica che contiene una sua sezione iperpianale, 

 si conclude: 



Il numero delle quadriche linearmente indipendenti, che contengono una superficie 

 qualunque a sezioni normali di S r , è uguale a quello delle quadriche in S r _x che con- 

 tengono una sua sezione iperpianale, o di (quelle in S r _ 2; che contengono il gruppo di 

 punti sezione della superficie. 



6. Curve fondamentali di genere 0. — Abbiamo già avuto occasione di notare 

 (§ 4) che alle curve fondamentali di genere d'un sistema lineare (C) corrispondono, 

 sulla superficie F di S 3 di cui le oo 3 sezioni piane sono curve C, punti multipli che non 

 impongono condizioni alle superficie aggiunte e però non esercitano influenza sul ge- 

 nere; a questo fatto si collega l'altro che tali curve non hanno effetto sulla sovrab- 

 bondanza del sistema (C). Una analisi più minuta di siffatte curve fondamentali porta 

 alla conseguenza che esse (a differenza delle curve fondamentali di genere > 0) sono 

 più intimamente legate alla natura della superficie, che a quella del sistema (C) che 

 su di essa si considera. 



Il caso più semplice è quello delle curve fondamentali di grado 2, le quali ven- 

 gono ad essere rappresentate da punti doppi isolati (non eccezionali) (1) sulla super- 

 ficie F di S 3 (di cui le sezioni piane appartengono al sistema (C)), o sulla superficie 

 normale F' ottenuta facendo segare dagli iperpiani d'un iperspazio tutte le curve C. 



(1) Poiché si è esclusa la considerazione delle curve fondamentali costituite da coppie di punti. 



