RICERCHE DI GEOMETRIA SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE 



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nere . . . rc h . . . tt s ; introdurremo i caratteri ò x . . . b h . . . b s definiti dall'ugua- 

 glianza 



òh = TT — TT/, 



e diremo b h la volenza della curva fondamentale G h . Il carattere b h è legato semplice- 

 mente a quelli, altre volte introdotti, cioè il genere (virtuale) p ft della C h ed il suo 

 grado i h (numero delle intersezioni con una curva residua); infatti è 



TT — TTa -j- p h -j- i h — 1 



quindi 



bh = Pk + — 1- 



Si facciano ora segare le curve C della rete dai piani di una stella col centro 0, 

 sulla superficie F, e sieno a x ... a, le rette per (multiple o contenenti punti mul- 

 tipli per la F) che corrispondono alle curve fondamentali Cj . . . C,. Nell'involuzione 

 I m ci sieno a gruppi dotati di due coincidenze staccate (di due punti doppi), e t gruppi 

 dotati d'un punto triplo (dove ne coincidono 3) : le a rette che proiettano da i primi 

 a gruppi sono corde per la curva di coincidenza di I m , le t che proiettano i t gruppi 

 secondi sono tangenti per essa. 



Ora la curva di coincidenza sega un piano generico per in 2 (tt -f- ni — 1) 

 punti fuori di ed un piano per a h (fuori di a h ) in 2 (tt a -f- m — 1) punti, ossia la 

 a h ha colla curva b h intersezioni. Proiettando dunque la detta curva di coincidenza 

 da sopra un piano, si avrà il suo genere dato da 



P = (2tt 4- 2m — 3) (tt + m — 2) — X b h {2b h — 1) — a — t. 



i 



Si conclude che la quantità 



(2tt + 2m — 3) (tt -f m — 2) — I ò* (2b h — 1) (= a + t + P) 



ha lo stesso valore per tutte le reti appartenenti all'involuzione l m ed è quindi essenzial- 

 mente un carattere della I m anziché delle dette reti. Invero si osserverà che, pren- 

 dendo nel piano multiplo rappresentativo della I m una rete omaloidica le cui curve 

 abbiano assai intersezioni con quella di diramazione, si avranno sulla F reti di ge- 

 nere grande quanto si vuole, appartenenti alla I m , e quindi separatamente i carat- 

 teri tt, b k non sono caratteri della I m . 



Esaminiamo brevemente il caso (m = 2) di una involuzione razionale I 2 sopra 

 una superfìcie F. 



Le curve d'una rete (C) appartenente alla I 2 sieno segate dai piani per sulla F. 

 Se n è l'ordine della F, le aggiunte d'ordine n — 4 alla F sono coni col vertice 

 in (che è (n — 2) pio per la F), quindi : 



Se sopra una superficie vi è un'involuzione I 2 , le curve canoniche che passano per 

 un punto passano per il coniugato (1). 



(1) Questa proprietà è nota; infatti il sig. Castelnuovo C Istituto lombardo „, 1. c.) ha dimo- 

 strato che se vi è un fascio di curve iperellittiche sopra una superficie d'ordine n, le aggiunte 

 d'ordine n — 4 per un punto passano per il coniugato sulla curva iperellittica che lo contiene. Il 

 tipo di superficie di cui stiamo trattando è stato considerato per la prima volta dal sig. Noether 

 (" Math. Ann. „, Vili, 1. e). 



