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V. MOLLAME 



di certe equazioni più generali dell'equazione (3). Se M {x) = è una di tali equa- 

 zioni, con ogni sua radice x appartenente al sistema (4) si può, mediante una deter- 

 minante funzione razionale (x), formare la serie 



x, 9 (4, e 2 (x) , e»- 1 (x) 



i cui termini sono le radici di un'equazione abeliana reciproca, di grado pari n e 



per la quale 9* (x) e 6 + "2 {x) (k—-Q, 1, 2, , n — 1) sono radici reciproche. 



Le radici (4), il cui numero v è multiplo di n, sono quelle di una equazione 

 F(x)=0, di grado v, con coefficienti razionali rispetto a quelli dell'equazione M(«) = 0. 



In particolare, l'equazione 



n 



xQ 2 (x) = 1 , (5) 

 nella quale n è un numero pari positivo, e 



n/„\ . OrX r + a T -1 X r ~ l + + «Q 



W ~~ ~ «o x r + oj ce'- 1 + + a r ' 



è una delle anzidette equazioni. Essa può divenir binomia, ed allora si riduce all'una 

 od all'altra delle seguenti 



n 



Xr 2 + 1 = 1 , (6) 



n 



x r 2 + 1 = _ 1 ( 7 ) 



nella seconda delle quali i numeri interi e positivi r ed -f- devonsi supporre dispari. 



Nel campo delle radici (4) trovansi le radici primitive delle equazioni (6) e (7) (*) 

 allorché ad una di esse si riduca l'equazione (5). 



Con le radici primitive dell'equazione (6), o della (7), si può comporre, come è 

 noto, un' equazione razionale, Gr (x) = 0, il cui primo membro è perciò un fattore 

 razionale di F (x), quando 1' equazione F (x) == è quella che si ricava dalla (6) o 

 dalla (7). 



Se f(x) — è un'equazione abeliana reciproca di grado n, le cui radici siano 



rappresentabili con x, 6 (x), 9 2 (x), , 6 n_1 (x), il numero u' nella radice (x), 



che è reciproca dell'altra radice x^, può essere o indipendente da u, e quindi dalla 

 scelta della radice diretta X/x, ovvero variare con u. Dalla prima di queste due 

 ipotesi fondamentali scaturisce una classe di equazioni abeliane reciproche fra le quali 

 trovasi quella della divisione del cerchio: esse formano il soggetto della presente 

 memoria. 



(*) Per le radici primitive dell'equazione binomia x m — — 1 veggasi la mia Nota, Sulle radici 

 primitive dell'unità negativa (" Rendiconto della R. Accademia delle Scienze di Napoli „, Fascicolo 7° 

 a 12°, 1892). 



