SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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§ 1. 



Sia 



fi?) = (1) 



un'equazione di grado n, le cui radici, indicando con x una qualunque di esse, siano 

 rappresentate dai termini della serie 



x, Qx, Q 2 x, , 9"- 1 », (2) 



nella quale si è posto per brevità di scrittura 



e 2 x — e [e («)], e 3 x = e (e 2 x), ecc. 



e si è denotata con (x) una funzione razionale di x, tale, che per ogni valore di x 

 che sia radice dell'equazione (1) risulti 



6" x = x, (3) 



e 



Q n ~ v x non == x, (4) 



qualunque sia il numero v scelto nella serie 1, 2, 3, . . . , n — 1. 



In virtù delle ipotesi fatte sulle sue radici, l'equazione (1) è abeliana. Dalla 

 equazione (3) e dalla condizione (4) si deduce poi immediatamente che al numero k, 

 o esponente di in e* x, se x e radice dell'equazione (1), si può aggiungere o togliere 

 un multiplo di n, e che da 0' c x= Q r x segue che la differenza fra k e k' deve essere 

 un multiplo di n. 



La funzione (x) si dirà funzione generatrice delle radici dell'equazione abeliana (1). 



Suppongasi inoltre che l'equazione (1) sia reciproca e, scelta una sua radice Xja, 

 ne sia Q^Xju la radice reciproca. L'esponente u' di in Q^x potrà essere o indi- 

 pendente da u, cioè dalla scelta della radice x^ , o variare con questa. Dalla prima 

 di tali ipotesi fondamentali nasce una classe di equazioni abeliane reciproche che 

 formano il soggetto della presente memoria e che, per brevità di linguaggio, si 

 diranno equazioni abeliane della classe (I). 



Sia x una radice qualunque dell'equazione (1), supposta abeliana e della 

 classe (I), e V x, ne sia la radice reciproca: sarà v indipendente da x; e però se 

 nella serie (2) si imagini che all'ultimo termine segua il primo, come al primo segue 



