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V. MOLLAME 



§ 1. 



il secondo e così via, le radici reciproche seguiranno ad intervalli uguali le radici 

 dirette ; e , come applicando v volte l' operazione 9 si passa dalla radice x alla 

 radice reciproca V x, così applicando v volte la stessa operazione alla radice 9 V x si 

 passerà da 9 V x alla radice reciproca di V x, cioè si tornerà alla radice x. Si ha quindi 



9 x — X 



e perciò 2v deve essere un multiplo di n. Or essendo v uno degli esponenti di 9 

 nella serie (2), si ha v < n — 1 ; per la qual cosa il multiplo di n che può essere 

 uguale a 2v o è zero, ovvero è n. Se è 2v = 0, cioè v = 0, allora ogni radice del- 

 l'equazione (1) è reciproca di sè stessa, e quindi quella equazione non ha altre radici 

 che -)- 1, o — 1. Questo caso che non offre nulla degno di nota non sarà preso in 

 considerazione e rimane perciò a porre soltanto 2v == n. Adunque la radice reciproca 



n 



di x è 9 2 x, qualunque sia x, cioè si deve avere 



Q*x 9* +k x = 1 , (3) 



per ogni radice x dell'equazione (1) e per ogni valore finito del numero intero e 

 positivo k. 



Si può quindi conchiudere che: 



Le equazioni abeliane della classe (I) sono di grado pari; e se 9 (x) è la funzione 

 generatrice delle loro radici, ognuna di queste deve soddisfare l'equazione (3). 



