SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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§ 2. 



Nelle ricerche ulteriori si presenta il problema seguente, del quale si premette 

 ora qui la soluzione. 



Determinare la forma generale di una funzione razionale 9 (x) che goda la pro- 

 prietà espressa dall'equazione identica 



e(*)e(!) =1. (!) 



Pongasi 



n/ \_ atx T Ar Or-i x r ~ l -f- . . . 4~ x -\- a F A (x) "~j 



W — h x s + fc-i a; 5 " 1 + . . . + 6, » + & L~~ B (x) J ' 



e le funzioni intere A (x), B (x) si suppongano prive di fattori comuni e decomposte 

 in fattori lineari. Allora 9 (x) assumerà la forma seguente 



ft ( \ Or{x — Xj) (X — Xj) ... (x — Xr) /pv 



W ~~ h s {X — Hi) (x — Z 2 ) ... (X— E,) V ^ 



nella quale una £ a non può essere uguale ad una xp. Dalla (2) si ha che 



q / _1_ \ __ ar (1 — ari a;) (1 — x 2 x) ... (1 — x T x) ^ s _ r _ /g> 

 \ aj j & s (1 — 2j a; (1 — E 2 a;) . . . (1 — l, x) ' ^ ' 



e però l'identità (1) in virtù delle (2) e (3) diviene 



«r 2 (a? — Xi) (x — a? 2 ) ... (x — Xr) (1 — Xix) (1 — a; 2 a?) ... (1 — x r x) t _ r « /a 



6 s 2 (a; — (» — E 2 ) ... (a; — E,) (1—2,») (1 — E,») ... (1— E,») ^ ~" ' ^ ' 



Il numeratore della precedente frazione si annulla per x = xq ((3 = 1, 2, r), 

 ed è aj/3 una quantità finita, perciò deve annullarsi anche il denominatore; e siccome 

 una 2 a non può essere uguale ad una x$ , così nessuno dei primi s fattori di quel 

 denominatore può annullarsi per x = xp . Tale annullamento deve adunque essere 

 prodotto da qualcuno dei rimanenti fattori. Se è 1 — xp Z a = 0, si avrà 



Xp 



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