SULLE EQUAZIONI ABELTA.NE RECIPROCHE 



299 



§ 3. 



Sia f(x) = un'equazione di grado n, abeliana e della classe (I). E però ogni 

 sua radice dovrà soddisfare anche le equazioni 



tfx e* + ^ = 1, (1) 



e n x = x , (2) 



nella prima delle quali il numero intero e positivo k può ricevere qualunque valore 

 finito. Cambiando k in k -) — — , l'equazione (1) non muta per ogni sua radice che 

 verifichi anche l'equazione (2): quindi dall'equazione (1) si ottengono equazioni fra 

 loro differenti solo per gli — valori 0, 1, 2, ... , — 1 di A:. Tali equazioni, in- 

 sieme alla (2), formano un sistema di -\- 1 equazioni alle quali, come fu detto, 



a 



devono appartenere le n radici di f(x) = 0. Questo sistema può sostituirsi con quello 



formato dalle equazioni ricavate dalla (1) per k = 0, 1, 2, . 

 l'altra fornita dalla stessa (1) per k = ; cioè dalla seguente 



a 



— le dal- 



<d 2 x Q n x = 1. 



Imperocché da questa equazione, paragonata con l'altra 



xQ^x = 1 , ( 3 ) 



che si ha dalla (1) per k = 0, si deduce 1' equazione (2). Sicché le n radici di 

 f (x) = devono esser comuni alle seguenti — | — 1 equazioni 



n 



x Q T x = 1 



Qx 9 2 +1 a? = 1 



e 2 x e 2 x = 1 



Q*xQ n x = l ; 



(4) 



le quali mostrano immediatamente: 1° che se x' è una loro radice comune, sarà pur 

 tale ciascuna delle quantità 6 x', 8V, , 6"- 1 x'; 2° che 9" x' riproduce x'; 3° che 



