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V. MOLLAME 



§ 3. 



k -t— - 



le radici Q k x' e Q 2 x' sono fra loro reciproche. In conseguenza di ciò, se n è il 

 più piccolo degli esponenti v di 9 , per i quali si ha V x r = x', allora i termini 

 della serie 



x', Bx', Q 2 x', , e»- 1 a' 



saranno le radici di un'equazione f(x) = di grado n, abeliana e della classe (I). 

 Per la composizione di un'equazione della specie di f (x) = è dunque mestieri 



innanzi tutto che la funzione razionale {x) sia determinata in guisa che le — -j- 1 

 equazioni (4) abbiano una radice comune. 



Al sistema (4) può sostituirsi anche il seguente 



x Q Y x = 1 



q x e — = i 



X 



e 2 x e 2 - = ì 



X 



02 x 6* — = 1 ; 



x 



giacché per ogni radice x comune alle equazioni (4) si può in quelle sostituire 



— 1 

 a 6 2 a la quantità eguale — , tratta dalla prima di esse , ed allora il sistema (4) 



si riduce al sistema (5). Viceversa dal sistema (5) si deduce il sistema (4) col sosti- 



n 



tuire nelle equazioni che seguono la prima delle (5) ad -y il suo valore 2 x tratto 



da quella equazione. Il sistema (5) è più semplice del sistema (4), se si tien conto 

 del numero di volte che devesi applicare 1' operazione ; essendo tal numero nel 

 sistema (5) minore di quello relativo al sistema (4). 



Esprimendo che le ~ -J- 1 equazioni (5) hanno una radice comune, si ottengono, 



al più, -5- equazioni diverse, razionali nel campo dei coefficienti di (x), alle quali 



soltanto devono soddisfare i coefficienti di qualunque funzione (x) razionale in x, 

 se essa si voglia assumere come funzione generatrice di un' equazione di grado n 

 abeliana e della classe (I). 



Sul grado della funzione 8 (x), se essa è intera, o sui gradi del numeratore e 

 del denominatore di 9 (x), se essa è frazionaria, si può notare quanto segue. 



Sia (x) funzione intera di x, per es. 



(x) = a r x r -4- a r —i x r ~ x -j- -j- a p x? ; 



sarà W(x) del grado r v ed X?" ne sarà il termine di minor grado. 



