SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 301 



§ 3. 



Perciò in 6 V ^~ j il numeratore è di grado r v — p v ed il denominatore di 



grado r v . Adunque, se per brevità di scrittura si rappresenta con (u, u') una fun- 

 zione algebrica fratta della quale |u e ju f sono i gradi del numeratore e del deno- 

 minatore, si avrà 



Qv(x) = (r\ 0) 



Per la qual cosa, i gradi delle equazioni (5), ridotte a forma intera, sono dati, ordi- 



n 



natamente, dai numeri r 2 -j- 1 , 2r — p, 2r 2 — p*, ecc. Quindi, affinchè le n radici 

 x', 6 x', 0* x', , n-1 x' comuni alle equazioni (5) possano essere fra loro disu- 

 guali, è necessario che o nessuno dei precedenti gradi sia minore di n, la qual cosa 

 importa che sia r > 1, come è chiaro, ovvero che si convertano in identità quelle 

 equazioni i cui gradi risultano minori di n. 

 Ora si ha 



= [l + (r-l)P = 1 +i( r _l)+ + -J-(r-l) 



+ {r-l) 



= 1 + 



r — 1 -f. ( r — 1) 2 1 



+ e, 



dove e è una quantità positiva diversa da zero, se > 2 : e perciò risulta in tal caso 



r 2 > 1 + £ 



r — 1 -f- (r — 1) 



- 1 



Se in questa relazione ad r — 1 (> 1) si sostituisce 1, si ottiene l'altra 



n 



r 2 > n -f- 1 



e quindi si conchiude che 



r 2 + 1 > w + 1 , 



dove il segno = si riferisce solo alle ipotesi ^y=r2,r = 2j, ^-|- : = 1, r = 2^. 



Adunque il grado della prima delle equazioni (5) non è mai inferiore ad n. Delle 

 equazioni rimanenti poi, la seconda è quella di grado minore: giacche i gradi di. 

 tali equazioni, per p = r, sono dati dai numeri crescenti r, r 2 , r 3 , ecc. e per p < r, 

 dall'identità 



pv — (r _ p ) ( r v-i r v-2 p _|_ _ _ m _ _j_ jpv-i) 



