302 



V. MOLLAME 



§ 3. 



segue che al crescere di v cresce la differenza r v — p v e quindi cresce vieppiù l'altra 

 differenza 2r v — p v ; sicché i gradi delle equazioni che seguono la prima delle (5) 

 sono sempre crescenti, e la seconda di dette equazioni ha perciò il grado minore, 

 2r — p. dunque deve essere 2r — p > n, ovvero, se 



2r — p < n, 



e le predette n radici 2 x', , 9 n— 1 x' sono fra loro disuguali, deve la 



seconda delle equazioni (5) convertirsi in una identità; nel qual caso avverrà altret- 

 tanto di tutte le equazioni che seguono quella, in virtù della proposizione enunciata 

 in fine del § precedente ; ed allora la funzione intera 6 (x) deve avere per espressione 

 quella riportata nel detto §. Tale espressione intanto non può ridursi a forma intera 



se non per a = a x = = a r — i = : in tal caso si avrà 9 (x) = ± x r e la 



prima delle equazioni (5) diverrà un'equazione binomia, x m — + 1. In conseguenza 



le radici x', 9 x\ 9 V, , 9 M_1 x' di essa, cioè di f (x) = sono radici dell'unità 



reale, positiva o negativa. Si conchiude perciò che 

 Se 2r — p < n, la funzione intera 



a r x r -\- a r -\ x r ~ y -|- a p x p 



si può solo allora assumere come generatrice di un'equazione f (x) = 0, abeliana, della 



classe (I) e di grado n, quando a p = a p _i = a r _ i = ed a r = ± 1 ; cioè quando 



quella funzione si riduce alla potenza x r . In tal caso le radici di f (x) = sono 

 radici dell'unità reale, positiva o negativa. 



Sia 9 (x) una funzione frazionaria, per es. 



ft / \ _ Ch X T + «r-1 Xr-1 + + a [~ fr (x) ~] 



yx) ~ b,x> + x 8 - 1 + + h L X)J ' 



I gradi r ed s non si possono supporre entrambi uguali ad 1 ; altrimenti le 

 equazioni (5) risulterebbero tutte del secondo grado. Ora si ha: 



fì 2 f \ O-r fr T + ar-l fr T ~ l g» + +O0j£ s -r . 



° KX) ~~ bs fr* + fr" 1 g, + 4- bo 9s < 95 ' 



e quindi, se è r > s, la potenza g, s ~ r figurerà nel denominatore di Q z (x) con l'espo- 

 nente positivo r — s. In tal caso il numeratore di Q 2 (x) risulta di grado r 2 , rispetto 

 ad x, ed il denominatore di grado 2rs — s 2 . Se invece è r < s ed a , b non = 0, il 

 numeratore ed il denominatore di 9 2 (x) risultano entrambi di grado s 2 : sicché si avrà, 

 secondo la precedente notazione 



e (a) = (r, s) 



Q 2 (x) = {r\ 2rs — s 2 ), r > s 

 9 2 (cr) = (s\ s 2 ), r < ». 



