SDLLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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§ 3. 



Siccome poi con r >■ s si ha pure 2r — s > 1 , cioè 2rs — s* > s ed è in ogni 

 caso r* > 2rs — s 2 , così ponendo 



si ha che da Q(x), con la condizione r > s, si arriva a Q 2 (x)[=(r', s')] dove è pure 

 verificata la condizione r' > s', la quale perciò sarà verificata in Q v (x) per qualunque 

 valore intero e positivo di v. Oltre a ciò, come a motivo di r > s in Q(x) si è avuto 

 r' > r ed s' > s, così da r' > s' in 8*(a;) si avrà r" > r' ed s" > s' in 3 (x) e così via. 

 Si ha pure, per a , b non = 



e si può quindi conchiudere che il grado del numeratore e quello del denominatore di 



0" ( — sono uguali fra loro e crescono con v, così come avviene in Q'(x). Adunque 



la seconda delle equazioni (5), anche nel caso che Q(x) sia una funzione fratta per 

 la quale a , b non = 0, è quella che ha il minor grado fra le equazioni che seguono 

 la prima. Tal grado è dato da 2r se r > s, ovvero da 2s se s > r. Quindi se le n 

 radici x', Qx', 6V, ... , 6 n ~V comuni alle equazioni (5) debbono essere fra loro disu- 

 guali, è necessario che il grado 2r, o 2s, della seconda di quelle equazioni non sia 

 minore di n. Nel caso contrario, cioè quando il maggiore dei numeri r ed s, o uno di 



essi, se sono uguali, è minore di la seconda delle equazioni (5), e come conse- 



a 



guenza tutte le rimanenti, debbonsi convertire in altrettante identità. La funzione 

 Q(x) in tal caso sarà quella determinata nel § precedente; in essa i coefficienti 

 a ed a r devonsi supporre diversi da zero, altrimenti o il numeratore, o il denominatore 

 di 9 (x) sarebbero privi del termine indipendente da x, ciò che in principio si è per 

 ipotesi escluso. Si conchiude adunque che: 



Supponendo a , b non = 0, se è r =g s, la funzione 



Q*(x) = (/, s'), 



r < s 



Ur X r «r— 1 X 1 



b» x s -(- bs—i x 1 



. s -i 



nell'ipotesi di r, s < ^- non può assumersi come funzione generatrice delle radici di 

 un'equazione abeliana di grado n e della classe (I). Ciò può farsi o quando il maggiore 

 dei due numeri r, s non è minore di ~, ovvero quando r = s. In quest'ultimo caso deve 



