304 



V. MOLLAME 



§ 3. 



essere b s = ± a , b s _! = ± ài, , b = ± a r , convenendosi di prendere costante- 

 mente l'uno o l'altro dei segni ±. 



In particolare se Q(x) sia stata determinata in guisa che le equazioni (5) abbiano 

 una radice comune e che qualcuna di quelle equazioni risulti di grado n, essa sarà 

 un'equazione della specie di f(x) = 0, purché non abbia radici uguali. 



In generale, dopo aver determinata la funzione 9 (x) in modo che le equazioni (5) 

 abbiano una radice comune, sia M(x) il massimo comun divisore dei primi membri 

 di quelle equazioni ridotte a forma intera e con uno dei membri uguale a zero. Con 

 ogni radice dell'equazione M(x) = si può formare la serie 



nella quale è 



9V = x' 



eV e 2 x' = i; 



e però se nella precedente serie avviene che Q n x' è il primo di quei termini che 

 riproducono x', saranno x\ 0x', 9V, ... , Q n ~ l x' radici di ÌIL(x) = con le quali si 

 può comporre un'equazione di grado n, della specie di f(x) = 0. Se dunque si sop- 

 prime da M.(x) = ogni radice x" per la quale nella serie x", Qx", 0V, ... non 

 è & l x" il primo di quei termini che riproducono x", l'equazione cui si perviene sarà 

 decomponibile in equazioni che hanno i caratteri di f(x) = e che sono tutte quelle 

 che nascono per effetto della determinazione ricevuta dalla funzione generatrice Q(x). 

 Per sopprimere dall'equazione M{x) = la radice x", comune a tutte le equazioni (5), 

 basterà sopprimerla da una qualunque di esse. A tal fine è sufficiente sopprimere da 

 una delle equazioni (5) ogni sua radice x che sia comune a qualche altra di dette 

 equazioni e per la quale si abbia Q n 'x == x per n' < n. Scelgansi, per es., la prima e 

 l'ultima delle (5), o, ciò che è lo stesso, le equazioni (3) e (2). 



E facile vedere innanzi tutto che una radice x comune alle equazioni (3), (2) 

 ed a qualche equazione, 



n' 



xQ~*x = 1, (6) 



della stessa forma della (3), ma con un esponente ^ di minore di -|-> ® ^ a S0 P" 



primersi da una delle equazioni (3) e (2), per es. dalla (3): giacche per una tale 

 radice risulta 



Q n 'x = x (7) 

 con n' < n. In effetti, per ogni radice x comune alle equazioni (3) e (6) risulta 



n n' 



Q*x == Q^x; 



(8) 



