SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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§ 3. 



n_ n' 



or applicando una volta l'operazione 2 ed un'altra l'operazione 2 ad ambo i membri 

 della (8), e tenendo presente l'equazione (2), che per ipotesi è pur essa verificata 

 dalla radice x in discorso, si avrà, rispettivamente, 



n + n 

 X = 2 X 



n -+- n' 



Q~^~x = n 'x; 



e dal confronto di queste due equazioni si ottiene la (7). 



In generale, nella presente quistione basta considerare quelle soltanto delle 

 equazioni (6), nelle quali n' è un divisore (pari) di n, minore di n, che dà un quo- 

 ziente dispari. Sia infatto x una radice delle equazioni (3) e (2) che verifichi anche 

 qualche equazione della forma (2) ma con un esponente di minore di n. Di tali 

 equazioni sia 



8 a x = x (9) 



quella nella quale ha il più piccolo esponente: in tal caso dovrà essere a un di- 

 visore di n; altrimenti, posto n = av -f- |u, dove v e u sono il quoziente ed il resto 

 della divisione di n per a, l'equazione (2), cioè la seguente 



0^e ia cc = x, 



per ogni sua radice che soddisfi anche la (9) diviene 



Q^x = x, 



e questa, essendo u < a, mostra non esser la (9) quella fra le anzidette equazioni 

 nella quale è a il più piccolo esponente di 0, ciò che è contro l'ipotesi. 



Adunque essendo u = ed n = av, l'equazione (3) può scriversi 



a v 



X Q*x = 1. (10) 



Il numero v può essere pari o impari; nel primo caso, essendo ~a un multiplo 



di a, l'equazione (10), cioè la (3), per ogni sua radice che verifichi anche la (9) si 

 si riduce alla seguente 



x 2 = 1, (11) 



e si conchiude che se a è un divisore di n che dà un quoziente pari (in particolare 

 se a — 1) le radici che le equazioni (3) e (2) possono avere comuni con la (9) sono 

 le radici -f i o — 1 dell'equazione (11). Tali radici devonsi perciò sopprimere dall'e- 



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