SCJIiLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



307 



Il caso in cui la funzione (x) sia tale che le ~ equazioni che seguono la prima 



delle (5) del § precedente diventino identità, vien preso in esame nel presente §. 

 Sia dunque la funzione Q(x) determinata in guisa che le equazioni 



*xQ k \ — 



' X 



1 \ 



J = 1 (1) 



k — 1, 2, 3, ... , -g- 



diventino altrettante identità. In tal caso il sistema (5) del § 3 è verificato da ogni 

 radice x' dell'equazione non identica 



x Q 2 x = 1, (2) 



che è la prima di quel sistema; e quindi con la radice x' e con la funzione gene- 

 ratrice Q(x) si può comporre un'equazione abeliana della classe (I), che sarà di grado n 

 se nella serie x\ Qx', Q 2 x', ecc. è Q n x' il primo dei termini che riproducono x'. 



Per la formazione di tale equazione e delle altre analoghe deducibili dalla (2) 

 già provvede il teorema poc'anzi enunciato, nel quale l'equazione F(x) = è quella 

 che si ottiene sopprimendo dall'equazione (2) tutte quelle radici che sono considerate 

 nel citato teorema. 



Or affinchè riescano identiche le equazioni (1) è sufficiente che la prima di esse 

 si riduca ad un'identità, secondo quel che fu detto nel § 2, nel quale fu data anche 

 l'espressione che deve avere Q(x) nel caso in discorso: e però si ha il seguente 



Teorema. — Sia 



a r x r -\- ar—\x T ~ x + + a x x + «o 



Q(x) = 



se dall'equazione 



aox r -{- aix r ~ l -f- -)- ctr—ix -\- a T 



xQ 2 x = 1 



si sopprimono tutte quelle radici considerate nel teorema del § 3, l'equazione rimanente 

 F(x) = sarà decomponibile in equazioni abeliane di grado n e della classe (I), per 

 le quali è 0(x) la funzione generatrice delle radici (*). 



(*) Le radici dell'equazione x& 2 x = 1, non appartenenti ad altre equazioni della stessa forma 

 della precedente e con esponente di minore di -=r, potrebbero denominarsi radici abeliane di 



