308 V. MOLLAME 



§ 4. 



L'equazione (2), se Q(x) ha per espressione quella indicata nel teorema prece- 

 re 



dente, è di grado r 2 -f- 1. Essa, se la formola che dà Q(x) si prende col segno -f~> 

 ha la radice x = 1, qualunque sia r; ha inoltre la radice x = — 1 se r è dispari. 



n n n 



Imperocché essendo attualmente Q 2 xQ 2 — = 1, identicamente, ne segue che Q 2 x 



avrà un'espressione della stessa forma di quella della funzione (x) determinata nel 

 § 2; quindi l'equazione (2) potrà mettersi sotto la forma seguente 



, x(b s x s + b s -\x s - 1 -f- + h% + K 



b x s + hx s ~ L + + h-ix -f 



= 1, 



e sarà verificata da x = 1, se si prende il segno -j- nel primo membro, qualunque 

 sia il valore di s e quindi di ri se poi s, e quindi r, è impari quell'equazione, nel- 

 l'ipotesi del segno -)-> sar ^ verificata anche da x = — 1. 



Se poi si sceglie il segno — nel primo membro dell'equazione precedente, essa 

 ha la radice x = -j- 1, o l'altra x = — 1, secondo che r è dispari o pari. 



Cosi, posto 



n — 4, r = 2 



P = ax 2 -\- bx -\~ c, 



Q == ex 2 -\- bx -\- a, 



m =±~ 



le equazioni biquadratiche seguenti 



(ax — c)P 2 4- b(x — 1) PQ 4- (ex — a) Q 2 _ n 

 x — 1 ~ ' 



(ax 4- c)P 2 4- b(x + 1) PQ + (ex + a)Q 2 _ n 

 x-+l - °? 



sono abeliane della classe (I) ed hanno per funzione generatrice delle loro radici 



P P 

 [Q(x) — ] 4~ q"» [®( x ) = ì — "q > rispettivamente. 



ordine n di quella equazione. Con ciascuna di tali radici può comporsi un'equazione abeliana di 

 grado n e della classe (I). Nel campo di queste radici trovansi le radici primitive dell'equazione 

 in discorso, quando essa si riduce ad un'equazione binomia, come sarà in seguito dimostrato. 



Le rimanenti radici dell'equazione xB 2 x = 1, salvo -4-1, — 1, appartengono ad equazioni della 



a 



forma xQ 2 x = 1 dove a è un divisore di n, minore di n, che dà un quoziente dispari [§ (3)]; e 

 però se ti è della forma 2^, e solo allora, le radici dell'equazione in discorso, che diviene 



«e 2 x 



sono tutte abeliane, tranne -\-\, o — 1 



i 



