SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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§ 5. 



Alle equazioni abeliane della classe (I) considerate nel § precedente apparten- 

 gono, come caso particolare, quelle le cui radici sono radici dell'unità, positiva, o 

 negativa. Per l'indagine di tali equazioni è necessario ricorrere ai teoremi (A) e (B) 

 che seguono. 



Teorema (A). — In ognuna delle equazioni binomie 



x m — 1 (1) 

 x M = — 1 (2) 



se una radice, x 2 , è funzione razionale di un'altra, x u si potrà esprimere x 5 come po- 

 tenza con esponente intero e positivo di x L . 



In effetto se a è una radice primitiva dell'equazione (1), si potranno esprimere x l 

 ed x. 2 come potenze di a, con esponenti interi e positivi, siccome è noto. Sia 



x x - a p , x 2 = a ? ; (3) 



si avrà allora 



x 2 = Xi*) (4) 



e quindi se x% è funzione razionale di x x dovrà essere q multiplo di p: per es. q =pr; 

 in tal caso la relazione (4) diviene 



x t = x{ (5) 



ed il teorema precedente rimane dimostrato per l'equazione (1). 



Estesa poi la definizione di radice primitiva dell'equazione (1) anche all'equa- 

 zione (2) si ha che: 



Se a è una radice primitiva dell'equazione (2), i termini della serie 



a, a 3 , or, , a 2 " 1-1 



esprimono tutte le radici dell'equazione (2) (*). 



In conseguenza le relazioni (3) relative all'equazione (1) e le altre (4) e (5) che 

 da quelle scaturiscono sono vere anche nel caso dell'equazione (2). Dopo ciò il pre- 

 cedente teorema rimane provato anche per l'equazione (2). 



(*) Questo teorema trovasi dimostrato nella " Nota „ : Sulle radici primitive dell'unità negativa, 

 già innanzi citata. Tale nota, alla quale spesso si ricorre nella presente Memoria, sarà detta, per 

 brevità, Nota A. 



