310 



V. MOLLAME 



§ 5. 



Il numero intero r | = ~ J nella relazione (5) può risultare maggiore di m, nel 



caso dell'equazione (2); giacche gli esponenti p e q variano da 1 a 2m — 1. In tal 

 caso se per es. è r—m-\-r', la relazione (5); ponendovi — 1 in luogo di x n diviene 



x 2 = — xf . (6) 



Suppongasi ora che la funzione Q(x) sia stata determinata in guisa che le equa- 

 zioni (5) del § 3 abbiano una radice comune x: esse avranno comuni anche le radici 

 Qx, Q 2 x, ecc. In virtù della detta determinazione, Q(x) assuma una forma tale che 

 l'equazione 



n 



xQ^x = 1, (7) 

 cioè la prima delle (5) del § 3, si riduca ad un'equazione binomia: ciò che può 



n 



avvenire solo se B 2 x è una potenza di x, per es. se 



re 



Q 2 X = 4~ x\ 



In tal caso l'equazione (7) diviene 



^v+i _ ± i . ( 7 ') 



e siccome se a? è una radice della precedente equazione, cioè della (7), anche Q(x) è 

 radice della stessa, così a motivo delle relazioni (5) e (6) alle quali ha dato luogo 

 il teorema (A), la funzione razionale B(x) che esprime una radice dell'equazione bi- 

 nomia (7') mediante un'altra x può mettersi sotto la forma 



9(a>) = ± x r (8) 



dove r è un numero intero che si può sempre supporre minore di v -(- 1. 



E però da una parte le equazioni che seguono la prima delle (5) del § 3 attual- 

 mente diventano tutte identiche, per virtù della forma (8) di Q(x), e dall'altra l'espres- 

 sione di Q(x) rientra in quelle che emanano dalla forinola (7) del § 2. Adunque 

 l'equazione F(a?) = considerata nel teorema del § 4 è decomponibile, presentemente, 

 in equazioni abeliane della classe (I) e di grado n, le cui radici sono tutte radici 

 d'un medesimo indice o dell'unità positiva o dell'unità negativa. 



Viceversa poi se Q(x) assume la forma (8), allora l'equazione (7) si riduce ad 

 un'equazione binomia e precisamente alla seguente 



^+1=1, (9) 

 se nella (8) si sceglie il segno e se invece si sceglie il segno — , si trova che 



