SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



§ 5. 



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e 2 * = (— i) e x r ' 2 



dove 



e = 1 -L- r rfr* -f- ...H- r T ~\ 

 e che l'equazione (7) si cangia nell'altra 



n 



(— 1)V T+1 = 1, 



la quale non è diversa dall'equazione (9) se e è pari, cioè se r è dispari ed ~ è pari. 



La precedente equazione è invece diversa dalla (9) se e è dispari: nel quale caso 

 essa diviene 



n 



xr T + 1 = — l. (10) 



Sorge qui l'opportunità di considerare separatamente le due ipotesi di r dispari 

 o pari. 



Se r è dispari, allora e che è somma di ^ numeri dispari risulterà dispari solo 



quando ^ è pur tale. 



Se r è pari il numero e è sempre dispari qualunque sia n. Adunque prendendo 

 il segno — nell'espressione (8) di Q(x) si otterrà dalla (7) l'equazione (10), invece 



della (9), solo allorquando è r pari, ovvero r ed ^ sono entrambi dispari. 



Oltre alle equazioni abeliane della classe (I) aventi per radici le radici dell'unità 

 positiva o dell'unità negativa, e che si ottengono come poc'anzi fu detto, non ne 

 esistono altre. La verità di questa asserzione poggia sul seguente 



Teorema (B). — Se una radice x t dell'equazione 



x m = ± 1 



è funzione razionale di una radice x 2 dell'altra equazione 



x m ' -— ± 1 



dovrà essere Xi una potenza, positiva o negativa, con esponente intero, di x 2 . 

 In fatto da 



Xl m = ± 1, 

 x. 2 m ' — ± 1, 



si deduce che 



