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V. MOLLAME 



§ 5. 



Mi d/% 



e che 



mi 



Xi — ± X 2 m . 



Se dunque x x è funzione razionale di x 2 deve essere m' multiplo di m. C. D. D. 

 Segue dal precedente teorema e dal teorema (A) che se un'equazione f(x) === 

 ha per radici i termini della serie 



x, Qx, Q 2 x, . . . , Q n ~ l x, (Q n x = x) 



nella quale è Q{x) una funzione razionale di x, e se x e B(x) sono radici dell'unità 

 positiva, o negativa, dovrà essere Q(x) una potenza positiva, o negativa di a;: e però 

 Q(x) dovrà avere un'espressione della forma (8). Quindi l'equazione Q n x uà x alla 

 quale deve soddisfare ogni radice di f(x) = 0, diviene l'una o l'altra delle seguenti 



x r "- l =:l, af n - 1 = — l, 



le quali provano che le radici di f(x) = sono tutte radici con uno stesso indice, 

 o dell'unità positiva, o dell'unità negativa. 



Inoltre, se l'equazione f{x) = è reciproca, allora la (7), alla quale devono 

 pur soddisfare le radici di f(x) = 0, diviene l'equazione (9), o l'equazione (10). Si può 

 quindi conchiudere il seguente 



Teorema I. — Le equazioni abeliane della classe (I) e di grado n che hanno per 

 radici le radici dell'unità positiva, o negativa, sono quelle sole che si possono ottenere 

 o mediante l'equazione binomia (9), qualunque siano i numeri interi e positivi r ed n, o 



mediante l'equazione binomia (10) allorché r è pari, oppure allorché r ed ^ sono entrambi 



dispari. 



Il processo dichiarato nel teorema del § 3 sull'equazione generale (3) di quel § 

 serve a comporre le equazioni menzionate nel teorema precedente ; ed a tal fine quel 

 processo verrà in seguito sottoposto ad ulteriori considerazioni. 



Per le equazioni che si ottengono mediante la (9) la funzione Q(x) generatrice 



delle radici è espressa da x r , qualunque siano r ed ^ : se poi r è dispari ed è 



pari, allora 0(aj) può avere per espressione sia x r che — x r . Per le altre equazioni 



ottenute mediante la (10), nella quale deve essere r pari, ovvero r ed ^ entrambi 



dispari, la funzione Q(x) è espressa da — x r . 



In particolare suppongasi che n -f- 1 sia numero primo, ed r ne sia una radice 

 primitiva: sarà allora 



r" = 1 mod. (n -j- 1) 



e quindi 



