SOLLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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§ 5. 



r n — 1 = multiplo (n -f- 1), 



ossia 



(r 2 4" l) ( r2 — l) — multiplo (n -f- !)• 

 Il numero n -\- 1 dovendo dividere il primo membro della precedente egua- 



n 



glianza e non potendone dividere il fattore r z — 1, altrimenti non sarebbe r radice 

 primitiva di n -f- 1, dovrà quel numero dividere l'altro fattore r Y -\- 1. È dunque 



n 



r 2 -f- 1 un multiplo di n -j- 1 : e però ogni radice dell'equazione 



x n+1 == 1 



è radice anche dell'equazione (9). Le radici dell'equazione x n+l = 1 , diverse da 1, 

 possono esprimersi, come è noto, con 



r ri * n_1 



/yt /vi' /y*r /yf 



e sono le radici dell'equazione 



x n -f x n ~ l -f- 4- a? 4- 1 = 



che è quella della divisione del cerchio in n -J- 1 parti uguali. Tale equazione, reci- 

 proca per la sua forma, ed abeliana per la forma delle sue radici, appartiene alla 

 classe (I): giacche per ogni radice di essa, o dell'equazione x 7 ^ 1 = 1, risulta 



r r 2 r +1 -i 



00 * 00 —— yOO I — J_ , 



essendo r 2 -\- 1 multiplo di n -\- 1: perciò si ha = k -\- -| (§ 1). Dunque Ve- 



Ci 



contazione della divisione del cerchio è una delle equazioni abeliane della classe (I) che 

 si possono ottenere dall'equazione (9) quando r esprime una radice primitiva del numero 

 primo n 4~ 1- 



Le ulteriori considerazioni che seguono in questo § servono a semplificare in 

 parte il processo di composizione delle equazioni alle quali si riferisce il teorema I. 

 Sia x una radice dell'equazione (9): le quantità 



x r , x r \ x r \ (11) 



sono anche radici di quella equazione e deduconsi l'una dall'altra, ordinatamente, 



mediante l'operazione espressa da [Q(x) =]x r . Se r è pari, e quindi r 2 -|- 1 è di- 

 spari, le radici dell'equazione (10) sono uguali ed opposte a quelle dell'equazione (9): 

 perciò, posto — x = x u ne segue che come le quantità (11) sono radici della (9), 

 cosi le altre quantità 



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