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V. MOLLAME 



§ 5- 



che sono eguali ed opposte alle quantità (11), e deduconsi l'una dall'altra mediante 

 l'operazione [Q(xi) =] — x{, sono radici dell'equazione (10): e se avviene che x r = x, 



per k = n e non per k < n, e che x . x r % = 1, avverrà pure che — a? x r = x v per 



k = n e non per & < n, e che 00\ . «Ci — 1. Si conchiude perciò che se r è pari 

 e mediante la funzione generatrice [Q(x) =] af, applicata ad una radice x dell'equa- 

 zione (9), si è potuto comporre l'equazione abeliana f(x) = di grado n e della 

 classe (I), l'altra equazione che si può formare con la radice — x(=Xi) della (10) 

 e con la funzione generatrice [9(a?i) =] — x{ è pure abeliana, della classe (I) e di 

 grado » ed è data da f( — x) = 0. Questa equazione è sempre diversa dall'altra 

 f(x) == 0; altrimenti f(x) = dovrebbe avere radici uguali ed opposte, ciò che è 

 impossibile, giacche le radici di f(x) = appartengono alla (9), e questa, essendo di 

 grado dispari, non può avere radici uguali ed opposte. Si ha quindi il seguente 



Teorema II. — Se r è pari e con una radice x dell'equazione (9) si è potuto 

 comporre l'equazione f(x) = abeliana, della classe (I) e di grado n, avente [0(x)=]x r 

 per funzione generatrice delle sue radici; con la radice — x (= xj della (10) si potrà 

 comporre un'altra equazione abeliana della classe (I) e di grado n, nella quale è 

 [0(x 1 ) = ] — x{ la funzione generatrice delle radici. Questa equazione è espressa da 

 f( — x) = ed è sempre diversa da f(x) = 0. 



Nel caso di r pari è quindi inutile il prendere in considerazione l'equazione (10), 

 basta solo associare ad ognuna delle equazioni f(x) = dedotte dalla (9) l'altra 

 equazione f{—x) = 0. 



Sia ora r impari, e quindi r 2 -)- 1 pari; l'equazione (9) ha le sue radici a due 

 a due uguali ed opposte. Mediante la radice x della (9) e con la funzione genera- 

 trice [0(#) =] x T si supponga formata l'equazione abeliana g(x) = della classe (I) 

 e di grado n, le cui radici sono perciò i termini della serie seguente 



OC j 00 j 3G j • *• ■ • • y 30 • ( 1 j 



Con l'altra radice — x{=Xi) dell'equazione (9) e con la funzione generatrice 

 [9(xi) =] x{ si ottengono i termini dell'altra serie 



X\ , x{ , x{ , , X\ ; (13) 



e come avviene che x r = x per k = n ma non per k< n, e che x r . x = 1, così 



avverrà pure che xf ' = Xx per k = n ma non per k < n, e che x[ . x x r =1. 

 I termini della serie (13) i quali sono uguali ed opposti ai loro corrispondenti nella 

 serie (12) sono dunque radici di un'equazione g{ — x) = che si trova nelle stesse 

 condizioni di g(x) = 0. 



Le due equazioni g(x) = 0, g{ — x) ==■ sono sempre fra loro diverse: altri- 

 menti l'equazione g(x) = dovrebbe avere radici uguali ed opposte : dovrebbero cioè 



