SULLE EQUAZIONI ABELTANE RECIPROCHE 



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§ 5- 



i termini della serie (12) essere a due a due uguali ed opposti: ora ciò non può 

 avvenire. In effetto se fosse 



ne seguirebbe che 



x? * = — x (14) 



x r — — X 1 = X = X 



giacché essendo x radice della (9), sarà pure radice dell' equazione x" -1 = 1, cioè 



sarà x = x". Per la qual cosa dovrebbe essere 2k multiplo di n ; e siccome è Jc < n, 

 così potrà essere solo 2k = n. In tal caso, insieme all'equazione (14) che diviene 



dovendosi avere anche l'equazione (9) che può scriversi 



n 



£f~2 1 



X 



si dedurrebbe che — x = e che x = ± i, (* — ( — l) y )- Da x = ± i segui- 

 rebbe poi che af ! = x, se r è della forma r == 4p -f- 3, oppure x r — x, se r è 



della forma r = ip -\- 1 : in conseguenza essendo anche x T = x ed * r il primo 

 dei termini della serie (12) che riproducono x si dovrebbe avere o n = 2, od n = 1, 

 in conformità di * = a; o di ,r r = .t. L'ipotesi di n = 1 non è ammissibile : quella 

 di n = 2 fu già precedentemente esclusa, perchè non offre nulla degno di nota, quindi 

 la supposta relazione (14) non può sussistere. Nè parimente può sussistere 1' altra 

 relazione più generale 



x rk = — x rk 



giacché da essa si dedurrebbe che 



x r k ~ k — — x . 



e si ricadrebbe in una relazione della forma (14). Le equazioni g(x) = 0, g( — x)=0 

 sono dunque sempre fra loro diverse. 



Tenendo ferma l'ipotesi di r impari, si supponga che n sia multiplo di 4. Se 

 i termini della serie (12) si prendono con segni alternati, si otterrà l'altra serie 



OC) CO j OC OC ; 



i cui termini sono tutti radici dell'equazione (9) e si ottengono l'uno dall'altro me- 

 diante l'operazione [Q(x) =] — x r . Essi, inoltre, sono radici di un'equazione h(x) = 

 che è abeliana, della classe (I) e di grado n. Per dimostrare ciò basterà far vedere che 



(— lfx rh = x 



(16) 



