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V. MOLLAME 



§ 5. 



per k = n ma non per k < n, e che 



x 



=J (-1) 



\ 



= 1. 



(17; 



Ora, per k = n la (16) diviene 



; r " = a;, ed è verificata giacche a? è il primo 



termine della serie (12): per k < n la (16) si riduce all'una od all'altra delle se- 

 guenti relazioni, secondo che k è pari o dispari 



delle quali la prima non può verificarsi, altrimenti i termini della serie (12) non sareb- 

 bero tutti fra loro disuguali come si è supposto, e la seconda non può neppure 

 verificarsi altrimenti fra i termini della serie (12) dovrebbe sussistere la relazione (14) 

 ciò che si è dimostrato impossibile. 



La relazione (17) poi, essendo per ipotesi pari, si riduce alla seguente 



che è un'identità, giacche x è radice dell'equazione (9). L'equazione h(x) = tro- 

 vasi dunque realmente nelle predette condizioni e quindi, nell'ipotesi di r impari, si 

 ha il seguente 



Teorema III. — Se r è impari e con una radice x dell'equazione (9), mediante 

 la funzione generatrice [9(x) x r si è potuto comporre l'equazione abeliana g(x)=0 ; 

 della classe (I) e d,i grado n , l'altra equazione g ( — x) = formata con la radice 

 — x .(.===• x L ) della (9) e con la medesima funzione generatrice [9(x 1 )=]x 1 r , sarà pure 



abeliana della classe (I) e di grado n. E se, oltre ad essere r impari, è ~ pari, 



l'equazione h (x) = formata con la stessa radice x ma con la funzione generatrice 

 [G (x) = ] — ■ x r sarà anch'essa abeliana della classe (I) e di grado n. 



Nell'ipotesi di r dispari devesi però prendere in considerazione anche l'equa- 

 zione (10), se ~ è pure dispari (Teorema I). 



(k < n) 



