SOLLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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§ 6. 



Teorema I. — Se x è una radice primitiva dell 9 equazione 



n 



si avranno le seguenti proprietà: 



a) Le n quantità 



x r (2) 



sono radici di un'equazione abeliana della classe (I) e di grado n; 



b) Le stesse quantità sono tutte radici primitive dell'equazione (1); 



c) Le altre n quantità 



(2') 



formate con una radice primitiva dell'equazione (1), non compresa fra le (2), sono tutte 

 disuguali alle quantità (2) e fra loro. 



a) Ogni radice x dell'equazione (1) è pure radice dell'altra equazione 



</- 1 = ì, (3) 



n 



giacche r n — 1 è multiplo di r 2 -}- 1. Or l'equazione (3), messa sotto la forma se- 

 guente, 



X r — X 



mostra che per ogni radice x dell'equazione (1) v'è sempre un qualche esponente v 

 per il quale risulta 



x rV = x, (4) 



cioè 



af'- 1 = 1. (5) 

 Intanto se la detta radice x è radice primitiva dell'equazione (1), dal confronto 



n 



di tale equazione con la (5) risulta che r v — 1 deve esser multiplo di r 2 -f- 1, cioè 

 deve essere 



r" = 1 mod. Ir* + 1 ). (6) 



