318 V. MOLLAME 



§ 6. 



Or affinchè il quoziente — - sia un numero intero, è necessario e sufficiente 



r~z 4> 1 



che v sia multiplo pari di cioè un multiplo di n, per es. v = pn: ed allora si 



conchiude che il più piccolo valore di v nella (4) e nella (6) è n. Di qui segue im- 

 mediatamente che le quantità (2) sono tutte fra loro disuguali; altrimenti da 



a** = af*' (k, k' < n) 



seguirebbe che (se k > k') 



x r 



e non sarebbe n il più piccolo valore di v nella (4), essendo k — k' < n. 



* *+f • ... 



Si ha inoltre che x r ed x r sono quantità reciproche, come si è già visto 



altrove; e però, ponendo Q(x) = x T , si ha 



1; 



perciò le quantità (2) hanno tutte le idoneità delle radici di un'equazione abeliana 

 della classe (I) e di grado n. Rimane quindi provata la prima parte del teorema 

 precedente. 



b) Le quantità (2) sono tutte radici primitive dell'equazione (1). In fatto si 



ha in primo luogo che i numeri r 2 -4- 1 ed r sono primi fra loro; altrimenti ogni 

 loro comun divisore d diverso da 1 dovendo dividere il primo di essi ed ogni po- 



n n 



tenza, per es. r 2 , del secondo, dovrebbe dividere anche la differenza 1 fra r 2 — j— 1 

 ed r ! . 



I numeri r, r % , r 3 , ecc. sono dunque primi col grado r Y -\-l, dell'equazione (1): 

 or le potenze delle radici primitive di un'equazione binomia della forma x m = 1, 

 cioè della forma (1), i cui esponenti sono numeri primi col grado dell'equazione sono 

 pur esse radici primitive, come è noto, quindi la proprietà (b) rimane dimostrata. 



c) non può essere infine un termine x x rkl della serie (2') eguale ad uno 

 della serie (2). Imperocché in tal caso da * 



CC]_ ' ' ' oc 



si dedurrebbe, se k > , che 



Xi = x r 



ovvero, se k < k x , che 



