SULLE EQUAZIONI ABELIANE KECIPROCHE 



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§ 6. 



ed allora la quantità x x figurerebbe fra i termini della serie (2), ciò che è contro 

 l'ipotesi. Inoltre essendo x x radice primitiva dell'equazione (1), le quantità (2') tro- 

 vansi nelle identiche condizioni delle quantità (2) e sono perciò tutte fra loro 

 disuguali. Il teorema precedente rimane quindi dimostrato. 



Il più piccolo valore di v nella congruenza (6) è, come fu visto n; e però il 



n 



numero r appartiene all'esponente n, rispetto al modulo r 2 -f- 1. 



Dal teorema precedente si deduce che le radici primitive delle equazioni (1) 

 si possono ordinare in uno schema della forma seguente 



r r 2 r n ~ l 



X\ , X\ , X\ . . a • X\ 



X2 , Xf , 3?2 ; ■ ■ ■ %2 / \ ' } 



nel quale le n quantità disposte sopra ogni orizzontale sono radici di un'equazione 

 abeliana, di grado n e della classe (I). 



n 



Il numero delle quantità (7) è dato, come si sa, da tp (r 2 -\- 1), se <p {m) ha il 



« 



significato noto nella teoria dei numeri: perciò deve essere <p(r 2 -\- 1) un multiplo 

 di n, e quindi si ha che 



<p (r" -j- 1) = multiplo 2n, (r > 1). 



Sia r dispari, ed il numero pari r 2 -f- 1 sia multiplo di 4; allora le radici pri- 

 mitive dell'equazione (1) sono a due a due ed uguali opposte (*), e però se x x è radice 

 primitiva dell'equazione (1), tale sarà pure — x x . La radice — Xi non può trovarsi 

 fra i termini della prima orizzontale dello schema (7), come è stato dimostrato nel 

 § precedente: e però, se come radice iniziale x 2 della seconda orizzontale dello 

 schema (7) si prende — x } , i termini della seconda orizzontale di quello schema 

 diventano uguali opposti ai loro corrispondenti nella prima orizzontale. Similmente, 

 se si pone x 4 = — x 3 , i termini della quarta orizzontale dello schema (7) diventano 

 uguali opposti ai loro corrispondenti nella terza orizzontale, e così via. Quindi le 

 radici primitive dell' equazione (1) si possono ordinare anche secondo lo schema 

 seguente 



(*) Se m è multiplo di 2, e sólo allora, in ciascuna delle equazioni 



x m = — 1 , x 2 » 1 = 1 

 le radici primitive sano, a due, a due, uguali ed opposte. " Nota „, A, teor. IV. 



