SULLE EQUAZIOKI ABELIANE RECIPROCHE 



321 



§ 6. 



dello schema (9), a simiglianza di quelle della serie (15) del § precedente, sono radici 

 di un'equazione h m (x) = 0, od h m ( — x) = 0, abeliana, della classe (I) e di grado n, 

 nella quale è [0 (x) =] — x T la funzione generatrice delle radici. 



L'equazione F (x) = si potrà quindi scrivere anche nel seguente modo 



ih (x) h x (— x) hg(x) A 2 (— x) . . . h pL (x) x) = 0. 



Con i risultati fin qui ottenuti in questo § si possono enunciare i teoremi 

 seguenti : 



Teorema II. — Il mimerò 9 (r n -j- 1), [r > 1), è divisibile per 2n (*). 

 Teorema III. — L'equazione F (x) = che ha per radici le radici primitive del- 



n _!L 



l'equazione binomia x r + 1 = 1 è decomponibile in ^ ^ ^ equazioni abeliane di grado n 

 e della classe (I); in ciascuna delle quali è [0 (x) =] x r la funzione generatrice delle radici. 



re 



Se r 2 -f- 1 è multiplo di 4, la detta decomposizione può farsi in due modi. Dei 

 quali uno fornisce coppie di equazioni della forma f (x) — 0, f( — x) = che hanno 

 tutte per funzione generatrice delle loro radici [9 (x) =J x r ; e l'altro dà coppie di equa- 

 zioni h(x) = 0, h ( — x) = che hanno [0(x) =] — x' per funzione generatrice delle 

 loro radici. 



Se r" -f 1 è numero primo, il teorema II diviene il seguente: 



Teorema IV. — Se r* -f- 1 è un numero primo, sarà v n divisibile per 2n, (r > 1). 



I teoremi I e ILI hanno i loro corrispondenti rispetto all'equazione 



n 



nell'ipotesi che r ed j siano due numeri dispari, nel qual caso soltanto la prece- 

 dente equazione è da prendersi in esame, come fu provato nel § 5. 



Sia x una radice qualunque dell'equazione (10). I termini della serie 



00 j 00 j 00 y ■ ■ • ■ 00 ■•• (11) 



sono pur tutti radici di quella equazione, come è facile verificare, e si deducono l'uno 

 dall'altro, ordinatamente, mediante l'operazione espressa da [0 (x) =] — x r . Quei ter- 

 mini inoltre sono a due a due reciproci; e precisamente sono reciproci i termini 



(*) Questa proprietà del numero cp(r" -\- 1) risulta anche dal fatto che il numero n al quale, come 



n n 



fu innanzi dimostrato, appartiene/ - rispetto al modulo r 2 -\- 1, è un divisore di qp(r 2 -|- 1). Cfr. 

 Djrichlet, Teoria dei numeri § 28, parte I. 



Serie II. Tom. XLIY. p 1 



