SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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§ 6. 



n 



fa conchiudere che n — 1 deve essere divisibile per 2(r 2 -f- 1). Sia q il quoziente 

 di tale divisione: si avrà cosi 



r'—i 



— = 2 2- 



r 2 -f- 1 



Il più piccolo valore di v per il quale risulta numero intero il quoziente — >v ~ 1 — 



r T +l 



è n come fu visto precedentemente ; e per v = n il detto quoziente risulta anche 

 pari, giacche 



— = r — 1 = numero pari. 



Adunque per ogni radice primitiva dell'equazione (10) è n il più piccolo valore che 

 può avere v nella (14); e siccome n è pari, così sarà x T " un termine della serie (11) 

 e precisamente il primo di quelli che riproducono x. Associando a questa proprietà 

 di ogni radice primitiva dell'equazione (10) l'altra espressa dalla relazione (12) si può 

 conchiudere che se x è una radice primitiva della (10) i primi n termini della 

 serie (11) sono radici di un' equazione abeliana della classe (I) e di grado n, e che 

 [Q{x) =] — / ne è la funzione generatrice delle radici. 



Quegli n termini, inoltre, sono tutti, come il primo, radici primitive dell'equa- 

 zione (10). In effetti, in virtù del teorema (Cj, poc'anzi citato, si ha che la radice 

 primitiva x dell'equazione (10) è pure radice primitiva dell'altra equazione 



ajPfr-'+i-) = i. ( 15 ) 



n 



Or il grado 2 (>• 2 -f- 1) della precedente equazione ed il numero r non possono avere 

 alcun divisore comune; altrimenti dovendo questo esser dispari, come r, e dovendo 



esso dividere anche i numeri 2r 2 e 2(r 2 -f-l), dividerebbe la loro differenza 2: ciò 

 che è assurdo. 



Essendo r, e quindi le potenze di r numeri primi col grado dell'equazione (15), 

 le potenze x rlt della radice primitiva x di quella equazione, sono pur esse radici pri- 

 mitive di tale equazione. Siccome poi il grado dell'equazione (15) è multiplo di 4 



n 



— Te 



perchè r 2 -f- 1 è numero pari, così sarà radice primitiva di detta equazione sia x r 

 che — x rl , come fu già notato innanzi. E però si conchiude che i termini della 

 serie (11) sono tutti radici primitive dell'equazione (15) e quindi anche dell'equa- 

 zione (10) [teorema (C)]. 



Sia x l un'altra radice primitiva dell'equazione (10) non compresa nella serie (11); 

 le quantità 



