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V. MOLLAME 



§ 7. 



I teoremi I e V del precedente paragrafo stabiliscono che con qualunque radice 

 primitiva di ciascuna delle equazioni 



n 



x r "' + 1 = 1 , (1) 



x r%+x = — 1, (2) 



nella seconda delle quali r ed sono due numeri dispari, si può comporre un'e- 

 quazione abeliana della classe (I) e di grado n. Ma fra le radici delle dette equazioni 

 ve n'ha di quelle che, pur non essendo primitive, hanno però di queste la stessa 

 attitudine nella presente quistione. Così se n -f- 1 è un numero primo ed r ne è una 

 radice primitiva, le n quantità 



r r' r n ~ 1 



/vi /y»* n'< /p T 

 IV | W , . W , . , . , iA/ 



formate mediante una radice x dell'equazione x n+1 = 1 sono radici dell'equazione 



x n + x"- 1 + ...4-^4-1 = 



che è abeliana e della classe (I). Intanto fu dimostrato nel § 5 che la radice x, 

 come ogni altra dell'equazione x n+1 = l, è pure radice dell'equazione (1), ma non ne 

 è una radice primitiva. Sicché esistono nell'equazione (1) radici le quali quantunque 

 non primitive danno luogo però ad equazioni abeliane di grado n e della classe (I). 



II teorema generale del § 3 provvede ad escludere dalle radici dell'equazione (1) 

 o dell'equazione (2) quelle con le quali non è possibile comporre equazioni abeliane 

 di grado n. L'equazione (12) considerata in quel teorema diviene nel caso presente, 

 in cui è G (x) = ± r r , 



a 



x rì+x = 1 , (3) 

 se si pone Q(x) = x r ; e se invece si pone Q(x) = — x T , quell'equazione diviene 



a 



x'*-^ 1 = (— l) e ', (4) 



dove è 



€' = 1 4- r 4- r ? 4- . . . 4- r 



