SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 327 



§ 7. 



Or l'equazione generale (3) del § 3 si ridusse all' attuale equazione (1) in seguito 



all'ipotesi di Q{x) = x r , per ogni valore di r e di ~, ovvero di 8 (x) — — x r , se r 



è dispari ed è pari. Ma sé -|- è pari, tale è pure che è un divisore di -y 



al quale deve corrispondere un quoziente dispari, e però in tal caso, risultando pari 

 il numero e', ne segue che l'equazione (4) si riduce all'equazione (3) e si conchiude 

 che dalle radici dell'equazione (1) son da escludersi solo tutte quelle che tale equa- 

 zione ha comuni con le equazioni della forma (3). 



Analogamente si conchiuderebbe che dalle radici dell'equazione (2) vanno escluse 

 solo quelle che tale equazione ha comuni con equazioni della forma 



a 



af*+l = — 1. (5) 



Per quel che riguarda poi le radici -)- 1 o — 1 che, secondo il teorema del § 3 

 devonsi sopprimere dall'equazione (1) o dalla (2), si ha che 1 è radice comune alla (1) 

 ed a ciascuna delle equazioni (3), ed altrettanto, se r è impari, avviene della radice 

 — 1 dell'equazione (1). Di guisa che le radici -f-1 o — 1 di questa equazione ver- 

 ranno da essa soppresse come radici che tale equazione ha comuni con una qua- 

 lunque delle (3). Fa solo eccezione il caso nel quale delle equazioni (3) non ne esista 



alcuna; ciò che può avvenire solo allorquando n è una potenza di 2, oppure r 2 -\- 1 

 è un numero primo. Giacche se « è una potenza di 2 non esistono i numeri a e se 



n a 



r* -f- 1 è un numero primo, allora non esistendo i numeri r 2 -j- 1, che altrimenti 

 sarebbero divisori di r 2 -)- 1 , non esisteranno neppure i numeri a. Il secondo di 

 questi due casi include il primo: imperocché se r ' -f- 1 è numero primo, non esi- 

 stendo più i divisori r 2 -\- 1, non esisteranno neppure i divisori « di » e quindi n 

 dovrà essere una potenza di 2. 



Ora, se delle equazioni (3) non ne esista alcuna, è d'uopo sopprimere dall'equa- 

 zione (1) solo la radice 1, se r è pari, o solo le radici le — 1 se r è dispari. 



L'equazione (2) poi non può avere nè la radice -\- 1 ne la radice — 1 essendo 



n 



in essa r 2 -J- 1 un numero pari. Oltre a ciò, siccome -g- è dispari, esisterà sempre 



qualche equazione della forma (5), per es. l'equazione x r+x == — X, per la quale 



è a = 2. 



Si possono ora enunciare i teoremi seguenti. 



Teorema I. — Siano r ed £ due numeri interi e positivi, il secondo dei quali 



Ci 



non sia una potenza di 2: siano inoltre a ; a' ; a" ; ecc. tutti quei divisori positivi di n, 

 minori di n, che danno quozienti dispari. Se dall'equazione 



n 



x r ' +1 = 1 (l'j 



