328 V. MOLLAME 



§ 7. 



si sopprimono tutte quelle radici che essa ha comuni con le equazioni seguenti 



a a' a" 



x r2+1 — 1 , x r ' 1 +1 = 1, af * +1 = 1, ecc.; (a) 



ovvero se dall'equazione 



n 



x r *+ l = — \, (2') 

 nella quale r ed si suppongono dispari , si sopprimono tutte quelle radici che essa 



Li 



ha comuni con le altre equazioni seguenti 



a a a 



x r *-{- 1 = — 1, x r * ^ — — 1, x r * +1 = — 1, ecc., {a') 



le equazioni razionali <t>(x) = 0, ^(x) =0 che, nel primo caso, o nel secondo, risul- 

 tano formate con le rimanenti radici dell' equazione (1') o dell' equazione (2'), sono 

 decomponibili in equazioni abeliane di grado n della classe (I). 



Le equazioni provenienti dalla scomposizione di <t> (x) = hanno per funzione ge- 

 neratrice delle loro radici [6(x) =] x r ; le altre, relative all'equazione H'(x) == 0> hanno 

 per funzione generatrice delle loro radici [9 (x) — J — x r . 



Se nell'equazione (V) r è impari ed ^ è pari, la decomposizione di <t>(x) == può 



farsi in due modi: potendosi assumere come funzione generatrice sia [9(x) =) x r che 

 [9 (x) =] — x r . (Teorema III, § 5) (*). 



Teorema II. — Le equazioni 



r z +1 , 

 X — 1 



X—l 



r 2 +1 

 X — 1 



= (6) 



-0, (7) 



nella prima delle quali r è pari e nella seconda r è dispari, sono decomponibili in 

 equazioni tutte abeliane di grado 2 m+1 e della classe (I). Di tali equazioni, quelle che 

 provengono dalla decomposizione dell'equazione (6) hanno per funzione generatrice delle 

 loro radici [9 (x) =] x r , e quelle provenienti dalla decomposizione dell'equazione (7) pos- 

 sono avere per funzione generatrice o [6 (x) =] x r ovvero [9 (x) =] — x r (**). 



(*) Le radici delle equazioni <t> (x) = e *K {x) = sono radici abeliane d'ordine n delle equazioni 



n 



(1') e (2'). Esse potrebbero anche denominarsi radici abeliane di indice r 2 -\- 1 dell'unità positiva o del- 

 l'unità negativa. Nel campo di tali radici trovansi le radici primitive delle equazioni (1') e (2'). Cfr. la 

 nota al § 4. 



(**) Le radici dell'equazione binomia x r — 1=0, salvo ±1, sono tutte abeliane di ordine 2 m + 1 

 Cfr. la nota al § 4. 



