SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 329 



§ 7. 



m 



Il grado r* — 1 dell'equazione (7) dovendo esser multiplo del grado 2 m+1 delle 

 equazioni abeliane nelle quali essa si decompone, ne segue che, ponendo r = 2p -f- 1 

 deve essere 



(2p + lf m — 1 . , 



2m-+-i numero intero , 



per ógni valore del numero intero e positivo p. 



n 



Essendo un divisore di ~ che dà un quoziente dispari, si deduce che r 2 -j- 1 



- rT + 1 _i 

 è divisibile per r 2 -j- 1 : e però il quoziente — è una funzione intera di x. 



X — 1 



n a 



Inoltre il quoziente di r 2 -\- 1 diviso per r 2 -f- 1 è dispari: imperocché se q è il quo- 

 ziente dispari — si ha 



t I — — — — — 2 — 



r'+i 



or la funzione di r, f(r), che è nel secondo membro della precedente uguaglianza ha, 



oltre al termine 1, altri ~ ~ L = 1T ^ — termini, i quali formano - 



differenze che son tutte pari; e però f(r) -j- 1 è un numero dispari. 



2 ' 2 



Essendo dispari il quoziente di r 2 -\-l diviso per r 2 -j- 1 ne segue che ^ — i^- 



1 



è una funzione intera di re. 



x 2 ~ 1 - 



Ciò premesso, siano il massimo comun divisore fra — ed x rì q= 1 



X +1 



(dove devonsi prendere contemporaneamente o i segni superiori o quelli inferiori), 

 ja s (a;) il massimo comun divisore fra -, — — s ed x r2 +1 q= 1 e così, via; si 



x -Hi / Mi W 



avrà allora che l'equazione 



r~*~-Hl - , 



r == (8) 



r 2+1 



1 /,U] (x) \x 2 {x) 



espianterà l'equazione <t>(x) = o l'equazione V(x) = 0, secondo che si prendano 

 i segni superiori o quelli inferiori. 



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