SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 



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Sia x una qualunque delle radici dell'equazione <ì>(x) = o dell'equazione 



x V(x)= considerate nel § precedente e per le quali è (0 (x) =) ± x r la funzione 

 generatrice delle radici. 



La funzione seguente 



y — x 4- ex + tfx + . . . 4- e""^ 



di » radici di <&(x) =0, o di = 0, rimane invariata se in essa in luogo della 

 radice x si pone una qualunque delle altre radici Qx, Q 2 x, . . . , Q n ~ l x : e perciò y può 

 avere solo v valori, se v è il quoziente del grado di <$>(x) = 0, o di V(x) = 0, diviso 

 per n. Per la qual cosa y è radice di un'equazione razionale 



Y = (1) 



di grado v, la quale si ottiene con processi noti. 



Se questa equazione non ha radici uguali, con la sua risoluzione si conoscerà 

 la funzione simmetrica y di n radici dell'equazione Q(x) = o dell'equazione M^j^O, 

 e ; mediante la conoscenza di y, resteranno determinati, come è noto, i fattori di 

 grado n di Q>(x) o di ^{x): questi uguagliati a zero forniscono le equazioni abeliane 

 di grado n e della classe (I) nelle quali è decomponibile l'equazione <ì>(x) = 0, o 

 l'altra V(x) = 0. 



Questo processo generale può però nei casi particolari essere semplificato. 

 Vogliansi, per es., determinare le equazioni abeliane di quarto grado e della 

 classe (I) per le quali è r — 3 ovvero r = 2. 

 L'equazione 



af 2 +i = 1 



per r = 3 diviene 



(2) 



L'equazione (7) considerata nel teorema II del § 7 è data attualmente da 



j -} = »• (3) 



cioè da 



x s + x< -[- x A + x 2 + 1 = 0. (3') 



