SULLE EQUAZIONI ABELIANE RECIPROCHE 333 



§ 8. 



le cui radici hanno [Q(x) =] x % per funzione generatrice. L'equazione (8) si ottiene 

 dalla (7) mutando x in x, come prescrive il teorema III del § 5. 

 L'altra equazione 



* n 



as" T -H = — 1 



nella quale -| deve esser dispari, non è da prendersi attualmente in considerazione, 



giacche |- (= 2) è pari. 



Le equazioni (7) ed (8) si potevano anche ottenere immediatamente considerando 



che 



x w — 1 — 1 a- s + 1 



X 2 — 1 X — \ ■' x -\- \ 



= (x* -f- x 3 4- x 2 -f x + 1) (£ 4 — x 3 + x 2 — a: + 1); 



e che se x è radice di una delle due equazioni (7) ed (8) che si hanno uguagliando 

 a zero i due precedenti fattori in parentesi, anche [Q(x) =] x 3 è radice di quella 

 equazione; giacche si ha 



x li -\- X° + X 6 + x 3 1 = x i0 . x 2 4- X 5 . x* + x\ x 4- X 3 -\- 1 = 

 = x % 4 z 4 4- a: 4- x 3 4- 1 == 0, 



ed 



x lt — x 9 -\- x 6 — x 3 4" i = a;10 - ^ — ^ "4~ ^ x — x% 4~ i — 



= £ 2 4" — x — x 3 -\- 1 = 0. 

 Oltre a ciò è pure, per n = 4, 



a** z 3 * + ^ = == (a,™) 3 = 1. 



Se r = 2 si rinvengono immediatamente di nuovo le equazioni (7) ed (8). 



Per avere l'altra equazione (1) risultante dall'eliminazione di x fra le equa- 

 zioni (3') e (5), si moltiplichino ambo i membri della (5) per x e se ne sottraggano 

 poi quelli della (3'); risulta così 



xy = — 2x s — x 6 — 2x i , 



cioè 



xy = — 2(x 3 4- x* 4- 4~ x 6 , 

 od anche, tenendo presente l'equazione (3') 



xy = 



— 2(x 2 4- 1) 4- x\ 



